Задача 8. Суммы соседей на доске

Две соседние суммы делят одно число

Пусть где-то на окружности подряд стоят числа $a$, $b$, $c$. На доске выписаны суммы $a+b$ и $b+c$. У них общее слагаемое $b$, поэтому их разность равна

По условию любые два числа на доске отличаются не более чем на $1$, значит, и $a-c$ не больше $1$ по величине: $-1\le a-c\le 1$. Числа $a$ и $c$ стоят через одно — между ними только $b$. Получили правило: любые два числа, стоящие через одно, отличаются не больше чем на $1$.

Зачем это нужно: условие сказано про суммы, а спрашивают про сами числа. Разность двух соседних сумм убирает общее слагаемое и оставляет разность чисел. В модели это видно при выборе любого числа: две суммы по бокам от него отличаются ровно на разность чисел через одно.

Прыжки через одно обходят весь круг

Пронумеруем места по часовой стрелке: $1, 2, \ldots, 2023$, и пусть нуль стоит на месте $1$ (если нулей несколько, возьмём любой из них). Будем прыгать через одно место: с места $1$ на место $3$, потом на $5$, $7$ и так далее до места $2023$. Следующий прыжок — через место $1$ — приводит на место $2$, затем на $4$, $6$, …, $2022$, и ещё один прыжок, через место $2023$, возвращает на место $1$.

Сначала мы прошли все нечётные места, потом все чётные: каждое место встретилось ровно один раз, и всего сделано $2023$ прыжка — столько же, сколько мест. Так получилось потому, что $2023$ нечётно: при чётном числе мест прыжки через одно ходили бы только по нечётным местам и чётных не задели бы.

По шагу 1 за каждый прыжок число меняется не больше чем на $1$: число на новом месте отличается от числа на предыдущем месте не больше чем на $1$, ведь они стоят через одно.

Оценка: подъём и спуск дают N ≤ 1011

Пойдём от нуля по маршруту шага 2 и будем следить, как меняется число. Пусть наибольшее число $N$ впервые встретилось на прыжке номер $k$.

Подъём. За $k$ прыжков число выросло от $0$ до $N$, а за каждый прыжок оно растёт не больше чем на $1$. Значит, $N\le k$.

Спуск. После этого остаётся $2023-k$ прыжков, и в конце число снова равно $0$: мы вернулись на место $1$. За каждый прыжок число падает не больше чем на $1$, поэтому за $2023-k$ прыжков оно не могло упасть больше чем на $2023-k$. Значит, $N\le 2023-k$.

Числа $k$ и $2023-k$ — целые, и в сумме они дают нечётное число $2023$. Если бы оба были не меньше $1012$, их сумма была бы не меньше $2024$. Значит, одно из них не больше $1011$, а $N$ не больше каждого из них. Итак, $N\le 1011$.

Заметь: мы нигде не считали числа целыми — оценка верна для любых чисел на окружности. На рисунке ниже видно, почему: подняться круче, чем на $1$ за прыжок, нельзя, спуститься круче тоже нельзя, а всего прыжков нечётное число.

Пример: N = 1011

Расставим числа так, чтобы по маршруту прыжков число поднималось ровно на $1$ за прыжок до $1011$, а потом спускалось на $1$ за прыжок. На нечётных местах $1, 3, 5, \ldots, 2023$ поставим $0, 1, 2, \ldots, 1011$ (место $2j-1$ получает число $j-1$), а на чётных местах $2, 4, \ldots, 2022$ — числа $1010, 1009, \ldots, 0$ (место $2j$ получает $1011-j$). По кругу получается

Проверим доску. Соседи на местах $2j-1$ и $2j$ дают $(j-1)+(1011-j)=1010$. Соседи на местах $2j$ и $2j+1$ дают $(1011-j)+j=1011$. Последняя пара — места $2023$ и $1$: $1011+0=1011$. На доске только числа $1010$ и $1011$, любые два отличаются не больше чем на $1$. Наименьшее число $0$, наибольшее $N=1011$.

Значит, $N=1011$ возможно, а по шагу 3 больше не бывает. Ответ: $1011$.