Задача 6. Пятнадцать чисел подряд

Записываем числа через наименьшее

Пусть наименьшее из пятнадцати чисел равно $n$ — оно целое, возможно отрицательное. Числа идут подряд, поэтому остальные равны $n+1$, $n+2$, …, $n+14$.

Четыре наименьших — это $n$, $n+1$, $n+2$, $n+3$, их сумма

Одиннадцать остальных — $n+4$, $n+5$, …, $n+14$. В их сумме одиннадцать слагаемых $n$ и числа от $4$ до $14$. Складываем их парами с концов: $4+14=5+13=6+12=7+11=8+10=18$, пять пар по $18$ и посередине $9$, всего $5\cdot 18+9=99$. Значит, сумма остальных равна

Зачем это нужно: вместо пятнадцати неизвестных чисел осталось одно число $n$, и обе суммы записаны через него. Эти формулы верны для любого целого $n$, отрицательного тоже.

Приравниваем суммы

Суммы равны, когда $4n+6=11n+99$. Перенесём слагаемые: $4n-11n=99-6$, то есть $-7n=93$, откуда

Но $93$ на $7$ не делится: $7\cdot 13=91$, остаток $2$. Значит, $n$ получилось бы дробным, а по условию все числа целые. Ни при каком целом $n$ суммы не равны — таких пятнадцати чисел нет.

Отрицательные числа не спасают: уравнение одно и то же для всех целых $n$, а его единственный корень — дробь $-13\tfrac{2}{7}$. Проверим соседние целые: при $n=-13$ числа от $-13$ до $1$, суммы $-46$ и $-44$; при $n=-14$ суммы $-50$ и $-55$. Разность «остальные минус наименьшие» при $-13$ равна $2$, при $-14$ равна $-5$: ноль проскочен.

Почему ноль проскакивается: шаг 7

Посмотрим на разность сумм

Когда наименьшее число увеличивается на $1$, каждое из пятнадцати чисел увеличивается на $1$: сумма четырёх растёт на $4$, сумма одиннадцати — на $11$, а разность — на $11-4=7$. Поэтому разности при соседних $n$ отличаются ровно на $7$: $\ldots,\,-12,\,-5,\,2,\,9,\,16,\,\ldots$ Все они при делении на $7$ дают остаток $2$ — такой же, как $93=7\cdot 13+2$. А ноль даёт остаток $0$. Значит, разность никогда не равна нулю, то есть суммы никогда не равны.

Как это заметить: в модели точки разности выстраиваются лесенкой с шагом $7$ и перешагивают через ноль между $n=-14$ (разность $-5$) и $n=-13$ (разность $2$). Это тот же факт, что в шаге 2, только без дроби: всё дело в остатке от деления на $7$.

Второй взгляд: пары и семь чисел подряд

Можно обойтись и без буквы $n$. Обозначим через $A$ сумму четырёх наименьших чисел, через $B$ — сумму следующих четырёх (с пятого по восьмое), через $C$ — сумму оставшихся семи (с девятого по пятнадцатое). Тогда сумма одиннадцати остальных равна $B+C$.

Сравним четыре наименьших со следующими четырьмя по парам: пятое число больше первого на $4$, шестое больше второго на $4$, седьмое — третьего, восьмое — четвёртого. Четыре пары, в каждой разница $4$, поэтому

Если бы было $A=B+C$, то $C=A-B=-16$. Но $C$ — сумма семи идущих подряд целых чисел. Если среднее из них равно $m$, то это числа $m-3$, …, $m+3$, и $C=7m$ делится на $7$. А $-16$ на $7$ не делится. Противоречие — значит, равенства $A=B+C$ не бывает. Это второе решение из официального разбора; оно говорит то же самое, что и шаг 3: мешает делимость на $7$.