Задача 2. Квадрат из полосок

Какие полоски могут пригодиться

Квадрат площади больше $1$ — это квадрат со стороной $k\ge 2$ клеток. Допустим, Олег его составил.

Посмотрим на любую использованную полоску $1\times a$. Это цельный прямоугольник шириной в одну клетку: его нельзя согнуть, а в составленном квадрате он лежит целиком, без наложений и не вылезая за край. Значит, полоска занимает $a$ клеток подряд в одной строке или в одном столбце квадрата. А в строке всего $k$ клеток, поэтому $a\le k$.

Вывод: полоски $1\times(k+1)$, $1\times(k+2)$, $\ldots$, $1\times 2024$ в квадрат $k\times k$ не помещаются вовсе. Пригодиться могут только $1\times 1$, $1\times 2$, $\ldots$, $1\times k$ — и каждая не больше одного раза, ведь в наборе по одной полоске каждого размера. Если $k>2024$, доступных полосок ещё меньше: только длины до $2024$. Поэтому сумма $1+2+\ldots+k$ всё равно остаётся верной оценкой сверху, даже когда не все слагаемые есть в наборе.

Сколько клеток закроют подходящие полоски

Пусть использованы какие-то из полосок $1\times 1$, $\ldots$, $1\times k$. Их общая площадь не больше, чем площадь всех этих полосок вместе:

Откуда эта формула: разобьём слагаемые на пары «первое с последним»: $1+k$, $2+(k-1)$, $3+(k-2)$, $\ldots$ — в каждой паре сумма $k+1$, а пар $\dfrac{k}{2}$ (если $k$ нечётное, среднее число $\dfrac{k+1}{2}$ остаётся без пары, и формула всё равно верна: проверь для $k=3$ и $k=5$). Можно увидеть это и на рисунке: полоски $1\times k$, $1\times(k-1)$, $\ldots$, $1\times 1$, положенные одна под другой от левого края, образуют лесенку; две такие лесенки складываются в прямоугольник $k\times(k+1)$.

Для проверки: при $k=3$ это $1+2+3=6$ клеток, при $k=4$ — $10$, при $k=5$ — $15$.

Сравниваем с площадью квадрата

В квадрате $k\times k$ ровно $k^2$ клеток. Чтобы составить его без пробелов, полоски должны закрыть все $k^2$ клеток. Но всё, что у Олега помещается в квадрат, закрывает не больше $\dfrac{k(k+1)}{2}$ клеток. Сравним:

При $k\ge 2$ это верно. Значит, клеток не хватает — и не хватает ровно

клеток: при $k=2$ одной клетки ($3<4$), при $k=3$ трёх ($6<9$), при $k=4$ шести ($10<16$). Заметь: мы не разбирали, как именно лежат полоски. Недостача получается при любой расстановке, потому что мы сравнили площади, а не положения.

Ответ

Какой бы квадрат со стороной $k\ge 2$ Олег ни выбрал, суммарная площадь всех подходящих полосок меньше площади квадрата. Поэтому составить квадрат площади больше $1$ невозможно. Ответ: не может.

Единственный квадрат, который получается из набора, — это сама полоска $1\times 1$, квадрат площади $1$; его условие как раз исключает.