Задача 7. Десять чисел и все цифры поровну

Последние цифры: поровну у любых десяти чисел подряд

Выпишем десять чисел подряд, например от $95$ до $104$, и посмотрим только на их последние цифры: $5, 6, 7, 8, 9, 0, 1, 2, 3, 4$. Каждая цифра от $0$ до $9$ встретилась ровно один раз.

Так будет всегда. Когда к числу прибавляют $1$, последняя цифра увеличивается на $1$, а после $9$ идёт $0$ — последние цифры ходят по кругу $0 \to 1 \to \ldots \to 9 \to 0$. За десять чисел подряд делается ровно десять шагов по этому кругу из десяти цифр, и каждая цифра встречается ровно один раз (рисунок ниже).

Зачем это нужно: последние цифры десяти чисел сами собой дают каждую цифру по одному разу — они уже «поровну». Значит, всё решает то, что стоит перед последней цифрой.

Что остаётся: начала чисел

Назовём началом числа всё, кроме его последней цифры: у числа $127$ начало $12$, у числа $10234567895$ начало $1023456789$.

Пусть первое из десяти чисел оканчивается на $0$. Тогда десять чисел — это $\ldots0, \ldots1, \ldots2, \ldots, \ldots9$ с одним и тем же началом: например, у чисел от $120$ до $129$ начало $12$. Это начало выписано $10$ раз, поэтому каждая цифра начала попадает в счёт по $10$ раз. А цифры, которых в начале нет, встречаются только по одному разу — из последних цифр (рисунок ниже: у чисел $120$–$129$ цифры $1$ и $2$ встречаются по $11$ раз, остальные по разу).

Если же первое число оканчивается не на $0$, начала у десяти чисел разные: у чисел от $95$ до $104$ это $9$ (пять раз) и $10$ (пять раз). С такими наборами уравнять цифры сложнее, поэтому будем искать пример среди чисел с одинаковым началом.

Теперь ясно, какое начало нам нужно: такое, в котором каждая цифра встречается одинаковое число раз. Тогда из начал каждая цифра наберёт поровну, из последних цифр — ещё по одному разу, и всего получится поровну.

Строим пример

Самое короткое начало, где каждая цифра встречается одинаково часто, — это все десять цифр по одному разу. Число не может начинаться с $0$, поэтому поставим сначала $1$, потом $0$, потом остальные цифры по порядку: $1023456789$.

Припишем к этому началу последние цифры от $0$ до $9$ и получим десять чисел подряд:

Посчитаем. Начало $1023456789$ содержит каждую цифру по одному разу и выписано $10$ раз — это по $10$ раз для каждой цифры. Последние цифры $0, 1, \ldots, 9$ дают ещё по одному разу. Итого каждая цифра встречается ровно $11$ раз (рисунок ниже).

Ответ: могли. Петя мог написать числа от $10234567890$ до $10234567899$.

Проверка и другие примеры

Проверим пример ещё и «по общему счёту». В каждом из десяти чисел $11$ цифр, всего $10 \cdot 11 = 110$ цифр. Если каждая из десяти цифр встречается по $11$ раз, то всего $10 \cdot 11 = 110$ — сходится. А прямой пересчёт по цифрам: $0$ стоит на втором месте в каждом из десяти чисел и один раз на последнем — $11$ раз; $1$ — на первом месте в каждом числе и один раз на последнем — $11$ раз; так же и с остальными.

Примеров много. Подойдёт любое начало, в котором все цифры стоят по одному разу, например $9876543210$: числа от $98765432100$ до $98765432109$. Подойдёт и начало, где каждая цифра встречается по два раза, — тогда каждая цифра встретится $2 \cdot 10 + 1 = 21$ раз.

Чтобы ответить на вопрос задачи, достаточно одного примера с проверкой: мы показали, что слова Пети могли быть правдой. Вопрос о том, обязательно ли первое число оканчивается на $0$, в задаче не задан; в модели можно убедиться, что у чисел без нуля на конце цифры начал считаются «не поровну», а в тесте модели перебраны все первые числа до $3\,000\,000$ — ни одного примера среди них нет.