Задача 5. Три числа и остаток 4

Перепишем выражение: в 2023 спрятано 2024 − 1

Коэффициенты $2023$ и $2024$ — соседние числа, и это подсказка: $2023b^2=2024b^2-b^2$. Подставим и соберём слагаемые с множителем $2024$:

Проверим на тройке $a=4$, $b=3$, $c=-3$: слева $16+2023\cdot 9-2024\cdot 9=16+18207-18216=7$, справа $(16-9)+2024\cdot(9-9)=7$. Сходится.

Зачем это нужно: теперь видно, что выражение — это разность двух квадратов плюс число, кратное $2024$. Первое слагаемое отвечает за остаток при делении на $4$ (шаг 2), а второе можно обратить в ноль, чтобы строить примеры (шаг 3).

Остатки при делении на 4: числа 2, 6, 10, … не получаются

Какой остаток при делении на $4$ даёт квадрат целого числа? Чётное число $2m$ в квадрате даёт $4m^2$ — остаток $0$. Нечётное число $2m+1$ в квадрате даёт $4m^2+4m+1=4\left(m^2+m\right)+1$ — остаток $1$. Других остатков у квадратов нет (отрицательные числа дают те же квадраты, что и положительные).

Значит, у разности $a^2-b^2$ при делении на $4$ всего четыре варианта: $0-0$, $0-1$, $1-0$, $1-1$ — остатки $0$, $3$, $1$, $0$ (при $0-1$ получается $-1$, то есть на $1$ меньше кратного $4$ — остаток $3$). Остатка $2$ нет ни в одной клетке таблицы (рисунок ниже).

А второе слагаемое $2024\left(b^2-c^2\right)$ делится на $4$, потому что $2024=4\cdot 506$. Прибавление кратного $4$ остаток не меняет. Итак, всё выражение даёт при делении на $4$ тот же остаток, что $a^2-b^2$: только $0$, $1$ или $3$.

Вывод: числа с остатком $2$ — это $2$, $6$, $10$, $14$, …, все числа вида $4k+2$ — представить в нужном виде нельзя ни при каких целых $a$, $b$, $c$. Здесь даже не понадобилось, что числа различные.

Как превратить выражение в разность квадратов

Остальные натуральные числа — нечётные и кратные $4$ — нужно научиться получать. Посмотрим ещё раз на запись $\left(a^2-b^2\right)+2024\left(b^2-c^2\right)$. Если $b^2=c^2$, вторая скобка обращается в ноль, и остаётся просто $a^2-b^2$.

Но $b$ и $c$ должны быть различными, поэтому $c=b$ не годится. Зато годится $c=-b$: квадраты одинаковые, а числа разные — если только $b\ne 0$. Тогда:

Осталось проверить различность: $b\ne c$ при $b\ne 0$; $a\ne b$ и $a\ne c=-b$, то есть $a\ne\pm b$.

Задача свелась к такой: какие числа записываются как разность двух квадратов $a^2-b^2$, где $b\ne 0$ и $a\ne\pm b$? Как до этого догадаться: в выражении три «ручки» $a$, $b$, $c$, а мешает только большой коэффициент $2024$. Естественно сначала избавиться от него, связав $b$ и $c$.

Нечётные числа и кратные 4 — разности квадратов

Нечётное число $n=2k+1$ — это разность соседних квадратов: $(k+1)^2-k^2=k^2+2k+1-k^2=2k+1$. На рисунке ниже: квадрат $4\times 4$ без квадрата $3\times 3$ — это уголок из $7$ клеток.

Берём $a=k+1$, $b=k$, $c=-k$. Для $n\ge 3$ число $k\ge 1$, поэтому $b=k\ne 0$; $a=k+1\ne k=b$; $a=k+1\ne -k=c$ (иначе $2k=-1$, что невозможно для целого $k$). Пример: $7=2\cdot 3+1$, тройка $a=4$, $b=3$, $c=-3$:

Число, кратное четырём, $n=4m$ — разность квадратов «через один»: $(m+1)^2-(m-1)^2=\left(m^2+2m+1\right)-\left(m^2-2m+1\right)=4m$. На рисунке: квадрат $4\times 4$ без квадрата $2\times 2$ — рамка в два слоя из $12$ клеток.

Берём $a=m+1$, $b=m-1$, $c=1-m$. Для $n\ge 8$ число $m\ge 2$, поэтому $b=m-1\ne 0$; $a=m+1\ne m-1=b$; $a=m+1\ne 1-m=c$ (иначе $m=0$). Пример: $12=4\cdot 3$, тройка $a=4$, $b=2$, $c=-2$:

Так получаются все нечётные числа от $3$ и все кратные $4$ от $8$.

Два особых числа — 1 и 4 — и ответ

Формулы шага 4 не работают для двух чисел. При $n=1$ получается $k=0$: тройка $(1,0,0)$, в которой $b=c$. При $n=4$ получается $m=1$: тройка $(2,0,0)$, снова $b=c$. Разность квадратов $1=1^2-0^2$ и $4=2^2-0^2$ требует $b=0$, а тогда $c=-b$ совпадает с $b$.

Для этих двух чисел используем коэффициент $2024$ напрямую. Заметим, что $45^2=2025=2024+1$. Тогда

тройка $a=45$, $b=0$, $c=1$ — все числа различны. Для четвёрки удвоим $a$ и $c$: $90^2=8100$, $2024\cdot 2^2=8096$, и

тройка $a=90$, $b=0$, $c=2$.

Ответ. В виде $a^2+2023b^2-2024c^2$ с различными целыми $a$, $b$, $c$ представимы все натуральные числа, кроме чисел вида $4k+2$: нечётные (шаг 4 и $n=1$) и кратные $4$ (шаг 4 и $n=4$) получаются, а числа $2$, $6$, $10$, … не получаются по шагу 2. На полоске (рисунок ниже) пустыми остаются ровно столбцы с остатком $2$.