Задача 3. Три отрезка и угол

Что дано и что искать

Обозначим сторону треугольника буквой $a$ — её и нужно найти. Тогда на сторонах остаются отрезки $KB = a - 1$, $LC = a - 2$ и $MA = a - 3$. Раз точка $M$ лежит на стороне $CA$, сначала знаем лишь $a\ge3$. При $a=3$ было бы $M=A$, а $BK=BL=2$; треугольник $BKL$ с углом $B=60^\circ$ оказался бы равносторонним. Тогда $\angle MKL=\angle AKL=120^\circ$, вопреки условию. Поэтому $a>3$.

Единственное, что связывает $a$ с условием, — угол $MKL = 60^\circ$. В модели видно, что при разных сторонах этот угол разный: при стороне около $3$ он больше $100^\circ$, при больших сторонах — меньше $60^\circ$. Значит, условие на угол должно задать сторону. Будем переводить угол в равенства отрезков — через подобные треугольники.

Три угла при точке K

Точка $K$ лежит на стороне $AB$, а точки $M$ и $L$ — на двух других сторонах, по одну сторону от прямой $AB$. Если идти от луча $KA$ к лучу $KB$ через треугольник, то сначала встретится луч $KM$ (он идёт к стороне $CA$), потом луч $KL$ (к стороне $CB$). Поэтому три угла $AKM$, $MKL$ и $LKB$ в сумме дают развёрнутый угол:

Один из них известен: $\angle MKL = 60^\circ$. Значит, $\angle AKM + \angle LKB = 120^\circ$.

Теперь посмотрим на треугольник $AKM$. Угол $A$ в нём равен $60^\circ$ — это угол равностороннего треугольника. Сумма двух других его углов тоже $120^\circ$: $\angle AKM + \angle AMK = 120^\circ$.

В обеих суммах есть угол $AKM$, и обе равны $120^\circ$. Вычтем его:

Зачем это нужно: равенство углов при $K$ и при $M$ — заготовка для подобия. В модели это видно напрямую: углы $LKB$ и $AMK$ совпадают ровно тогда, когда угол $MKL$ равен $60^\circ$.

Подобные треугольники AKM и BLK

Сравним треугольники $AKM$ и $BLK$ — те, что лежат по обе стороны от точки $K$.

• $\angle A = \angle B = 60^\circ$ — углы равностороннего треугольника;

• $\angle AMK = \angle BKL$ — только что доказали.

Два угла одного треугольника равны двум углам другого, поэтому треугольники подобны. Соответствие вершин читаем по равным углам: $A \to B$ (углы $60^\circ$), $M \to K$ (равные углы из шага 2), а оставшаяся $K \to L$.

У подобных треугольников соответственные стороны пропорциональны. Возьмём стороны, прилегающие к углам $60^\circ$: в треугольнике $AKM$ это $AK$ и $AM$, в треугольнике $BLK$ — соответствующие им $BL$ и $BK$ (сторона $AK$ идёт к вершине $K$, а $K$ соответствует $L$, значит $AK$ соответствует $BL$). Получаем

Как это заметить: у обоих треугольников есть «угол от большого треугольника» ($60^\circ$), а вторая пара равных углов появилась из развёрнутого угла при $K$. Такая пара треугольников возникает всякий раз, когда угол при точке на стороне равен углу самого треугольника.

Уравнение и ответ

Подставим длины: $AK = 1$, $BL = 2$, $AM = a - 3$, $BK = a - 1$:

Умножим крест-накрест: $a - 1 = 2(a - 3) = 2a - 6$, откуда $a = 5$.

Уравнение получилось линейным, у него одно решение. Проверим, что оно годится: $5 > 3$, так что все три точки действительно лежат на сторонах: $KB = 4$, $LC = 3$, $MA = 2$. Осталось убедиться, что при стороне $5$ угол $MKL$ в самом деле равен $60^\circ$, — это в разделе «Проверка».