Задача 1. Сыр: на 2, 11 или 23

Что делает одна операция

Операция берёт один кусок и заменяет его на $2$, $11$ или $23$ равных куска. Число кусков растёт на $1$, на $10$ или на $22$. Но важно не только количество: по условию в конце все куски должны быть одинакового веса.

Посмотрим, что бывает, если делить куски по одному. Разделим сыр пополам: два куска по $\frac{1}{2}$. Теперь разделим только левую половину на $11$: получим $11$ кусков по $\frac{1}{22}$ и один кусок $\frac{1}{2}$. Кусков $12$, но веса разные (рисунок ниже). Чтобы они стали одинаковыми, правую половину придётся тоже разделить на $11$.

Вывод: раз в конце все куски должны быть равными, удобнее делить «честно» — все куски одного веса одинаково. В модели для этого есть переключатель «все куски этого веса».

Делим все куски сразу

Пусть у нас $k$ одинаковых кусков. Разделим каждый из них на $n$ равных (где $n$ — это $2$, $11$ или $23$). Тогда кусков станет $k\cdot n$, и все они снова одинаковые: каждый весит $\frac{1}{n}$ от прежнего.

Значит, начиная с одного куска, мы умеем получать $2$, $4$, $8$, $11$, $22$, $23$, $44$, $46$, $88$, $\ldots$ одинаковых кусков — любое произведение множителей $2$, $11$ и $23$. Вопрос задачи превратился в другой: раскладывается ли $2024$ на множители $2$, $11$ и $23$?

Раскладываем 2024 на множители

Число $2024$ чётное: $2024 = 2\cdot 1012$. И $1012$ чётное: $1012 = 2\cdot 506$. И $506$ тоже: $506 = 2\cdot 253$. Итак, $2024 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 253 = 8\cdot 253$.

Теперь $253$. Оно нечётное; сумма цифр $2+5+3 = 10$ — на $3$ не делится; на $5$ не оканчивается; $7\cdot 36 = 252$ — на $7$ не делится. Проверим $11$: $11\cdot 23 = 11\cdot 20 + 11\cdot 3 = 220 + 33 = 253$. Получилось!

Все множители — ровно те числа, на которые разрешено делить.

Строим и проверяем

Делим сыр пополам — $2$ куска по $\frac{1}{2}$. Каждый из них пополам — $4$ куска по $\frac{1}{4}$. Каждый ещё раз пополам — $8$ кусков по $\frac{1}{8}$. Каждый из восьми делим на $11$ — $88$ кусков по $\frac{1}{88}$. Каждый из $88$ делим на $23$ — $88\cdot 23 = 2024$ куска по $\frac{1}{2024}$ (рисунок ниже).

Проверим: $88\cdot 23 = 88\cdot 20 + 88\cdot 3 = 1760 + 264 = 2024$. Все $2024$ куска весят по $\frac{1}{2024}$ целого и вместе дают $2024\cdot\frac{1}{2024} = 1$ — весь сыр. Операций понадобилось $1 + 2 + 4 + 8 + 88 = 103$.

Порядок делений не важен: можно сначала разделить на $23$, потом каждый кусок на $11$, потом трижды пополам — важно лишь, чтобы каждый кусок прошёл один и тот же набор делений.

Ответ: можно.

Дополнительно: какие числа кусков достижимы вообще

В задаче это не требуется, но объясняет, почему модель отказывает другим целям. Каждое деление умножает знаменатель веса куска на $2$, $11$ или $23$, поэтому любой кусок, который может появиться, весит $\frac{1}{2^a\cdot 11^b\cdot 23^c}$ целого. Если получилось $N$ одинаковых кусков, каждый весит $\frac{1}{N}$, значит, $N = 2^a\cdot 11^b\cdot 23^c$ — в разложении $N$ нет других простых множителей.

И наоборот, любое такое $N$ достижимо тем же способом, что и $2024$. Например, $2023 = 7\cdot 17\cdot 17$ кусков не получить никогда, а $506 = 2\cdot 11\cdot 23$ или $44 = 2\cdot 2\cdot 11$ — получить можно.