Математика · 8 класс · Региональный этап

Первоначально имеется один кусок сыра. Разрешается взять любой кусок сыра и проделать с ним одну из трех операций: разделить его на два куска одинакового веса, $11$ кусков одинакового веса или $23$ куска одинакового веса. Можно ли, используя только эти операции, разделить его на $2024$ части одинакового веса?

У Олега есть набор из клетчатых прямоугольников размеров $1\times 1$, $1\times 2$, $\ldots$, $1\times 2024$ (по одному прямоугольнику каждого размера). Может ли он, выбрав некоторые из них, составить (без наложений и пробелов) какой-нибудь клетчатый квадрат площади больше $1$?

На сторонах $AB$, $BC$, $CA$ равностороннего треугольника $ABC$ выбраны точки $K$, $L$, $M$ соответственно так, что $AK = 1$, $BL = 2$, $CM = 3$. Известно, что $\angle MKL = 60^\circ$. Найдите сторону треугольника $ABC$.

По кругу стоят $100$ белых точек. Аня и Боря красят по очереди по одной еще не покрашенной точке в красный или синий цвет, начинает Аня. Аня хочет, чтобы в итоге оказалось как можно больше пар разноцветных соседних точек, а Боря — чтобы оказалось как можно меньше таких пар. Какое наибольшее число пар разноцветных соседних точек Аня может гарантировать себе независимо от игры Бори?

Какие натуральные числа можно представить в виде $a^2+2023b^2-2024c^2$, где $a$, $b$, $c$ — различные целые числа?

Найдутся ли такие $15$ идущих подряд целых чисел, что сумма четырех наименьших из них равна сумме одиннадцати остальных?

Петя утверждает, что он написал $10$ подряд идущих натуральных чисел, и оказалось, что среди всех цифр, используемых в этих числах, каждая цифра (от $0$ до $9$) встречается одно и то же количество раз. Могли ли слова Пети оказаться правдой?

По окружности расставили $2023$ числа, наименьшее из которых равно $0$, а наибольшее равно $N$. Для каждых двух чисел, стоящих на окружности рядом, на доску выписали их сумму. Оказалось, что любые два числа на доске отличаются не более чем на $1$. Каково наибольшее возможное значение $N$?

Внутри треугольника $ABC$ выбрана точка $K$ такая, что $\angle KCB + \angle ACB = \angle KBC + \angle ABC = 120^\circ$. На продолжении стороны $AB$ за точку $B$ выбрана точка $P$, а на продолжении стороны $AC$ за точку $C$ — точка $Q$ таким образом, что $BK = BP$ и $CK = CQ$. Докажите, что $BQ = CP$.

Правильный треугольник $T$ со стороной $111$ разбит на правильные треугольники со стороной $1$. Все вершины этих треугольников, кроме находящейся в центре $T$, отмечены. Назовём множество отмеченных точек линейным, если все его точки лежат на одной прямой, параллельной стороне треугольника $T$. Сколько существует способов разбить все отмеченные точки на $111$ линейных множеств?