Задача 2.4. Мешок яблок для двух медвежат

Когда медвежонок несчастлив

Яблок в мешке чётное число, каждому достаётся по $h$. Медвежата берут не глядя, поэтому одному из них может достаться любая половина мешка. Нужно, чтобы любая половина делала медвежонка счастливым.

Разберём, когда медвежонок несчастлив (кроме случая, когда у него меньше $17$ яблок).

• Если зелёных у него хотя бы $5$, ему нужно ещё $2$ жёлтых или $2$ красных. Несчастлив он, только если жёлтых и красных у него не больше чем по одному.
• Если зелёных не больше $4$, остаётся одна пара: «$5$ жёлтых и $2$ красных». Несчастлив он, если жёлтых не больше $4$ или красных не больше одного.

Итак, половина плохая, если в ней:

• (а) не больше $4$ зелёных и не больше $4$ жёлтых;
• (б) не больше $4$ зелёных и не больше $1$ красного;
• (в) не больше $1$ жёлтого и не больше $1$ красного.

Каждого цвета немного, но и не мало

Если яблок какого-то цвета хотя бы $h$, одному медвежонку могут достаться только они — и тогда у него нет двух других цветов, он несчастлив. Значит, каждого цвета меньше $h$, а любых двух цветов вместе — больше $h$. Поэтому одному медвежонку может достаться половина из любых двух цветов без третьего.

Половина без красных должна быть счастливой — для этого нужны $5$ зелёных, значит, в мешке зелёных хотя бы $5$. Половина без зелёных — нужны $5$ жёлтых и $2$ красных. Итак, в мешке не меньше $5$ зелёных, $5$ жёлтых и $2$ красных.

Три опасные половины

Теперь ищем плохие половины из шага 1. Они собираются, если яблок какого-то цвета слишком много. Как это заметить: в каждом случае берём наибольшее разрешённое число двух «ограниченных» цветов, а остальное добираем третьим.

• Если красных хотя бы $h-8$, можно собрать половину «$4$ зелёных, $4$ жёлтых и $h-8$ красных» — плохую по (а). Значит, красных не больше $h-9$.
• Если жёлтых хотя бы $h-5$, можно собрать «$4$ зелёных, $1$ красное и $h-5$ жёлтых» — плохую по (б). Значит, жёлтых не больше $h-6$.
• Если зелёных хотя бы $h-2$, можно собрать «$1$ жёлтое, $1$ красное и $h-2$ зелёных» — плохую по (в). Значит, зелёных не больше $h-3$.

Нужные для этих половин $4$ зелёных, $4$ жёлтых и по одному красному и жёлтому в мешке есть — по шагу 2.

Меньше 36 нельзя

Сложим три оценки. Всего в мешке $2h$ яблок, а по оценкам их не больше чем $(h-3)+(h-6)+(h-9)$, то есть $3h-18$. Значит, $2h\leqslant 3h-18$, то есть $h\geqslant 18$, а яблок не меньше $36$.

Если яблок ровно $36$ ($h=18$), все три оценки должны выполняться точно: зелёных $15$, жёлтых $12$, красных $9$. Других мешков из $36$ яблок нет.

36 яблок хватает

Проверим мешок $15$ зелёных, $12$ жёлтых, $9$ красных. Каждому достаётся $18$ яблок — это больше $17$. Плохие половины собрать нельзя:

• (а): при $\leqslant 4$ зелёных и $\leqslant 4$ жёлтых красных нужно хотя бы $10$, а их $9$;
• (б): при $\leqslant 4$ зелёных и $\leqslant 1$ красном жёлтых нужно хотя бы $13$, а их $12$;
• (в): при $\leqslant 1$ жёлтом и $\leqslant 1$ красном зелёных нужно хотя бы $16$, а их $15$.

Значит, при любом делении оба медвежонка счастливы.