Popov AcademyУсловие
Званый обед. За большим круглым столом собрались гостя — жители острова Рыцарей (всегда говорят правду) и Лжецов (всегда лгут).
Перед началом обеда каждого гостя сфотографировали вместе с двумя его соседями, сидящими слева и справа от него, а по окончании обеда каждый гость получил красивый альбом с тремя фотографиями с его участием. Остальные фотографии (без этого гостя) каждый получил по электронной почте.
Каждый из гостей, просмотрев присланные фотографии, оставил два комментария в общем чате:
1) «На каждом фото лжецов больше, чем рыцарей»;
2) «Во время обеда за столом сидело ... рыцарей». Здесь каждый указал на месте многоточия некоторое число, которое в конце дня удалил модератор.
Сколько рыцарей было за столом? Мог ли модератор узнать, кто из них рыцарь, а кто лжец?
О задаче
Исследуй задачу
Самостоятельное исследованиеРассади гостей
Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.
Предскажи и попробуй
Рассади гостей
Сделай каждого гостя рыцарем или лжецом. Модель проверит первый комментарий каждого по присланным ему фото и обведёт тех, кто себе противоречит.
Без JavaScript модель не работает. Нарисуй стол на 8 мест и проверь рассадку «два рыцаря рядом» по шагам разбора.
Здесь нужно доказательство. Начни с перевода первого комментария: на фото трое, «лжецов больше» значит «рыцарей не больше одного». Попробуй в модели «Рассади гостей»: рассади рыцарей так, чтобы никто не противоречил себе.
Записать идеюЕсть запись
Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.
Черновик не сохраняется: текст только в этой вкладке.
Черновик изменён в другой вкладке. Твой текущий текст пока сохранён здесь, автоматическая запись остановлена.
Подсказка 1
На фото три человека, поэтому «лжецов больше, чем рыцарей» — то же, что «на фото не больше одного рыцаря». Лжец солгал — значит, ему прислали фото, где хотя бы два рыцаря. А рыцарю такого фото прислать не могли. Что это говорит о том, где сидят все рыцари?
Подсказка 2
Фото, на котором два рыцаря, обязано содержать всех рыцарей: иначе рыцарь, которого на нём нет, получил бы его по почте. Значит, все рыцари сидят в трёх соседних креслах. Проверь варианты: три рыцаря, два рыцаря через одного, два рыцаря рядом.
Разобрать решение по шагам
Переводим комментарий на язык фото
На каждом фото ровно три человека. «Лжецов больше, чем рыцарей» значит, что рыцарей на фото или . Будем называть фото с двумя или тремя рыцарями опасным.
Рыцарь говорит правду: ему не прислали ни одного опасного фото. Лжец лжёт: среди присланных ему фото есть опасное. Второй комментарий ничего не запрещает: рыцарь пишет верное число рыцарей, а лжец — любое неверное.
Есть и рыцари, и лжецы, и опасное фото
Если бы все были лжецами, на всех фото было бы рыцарей — и каждый лжец сказал бы правду. Противоречие. Если бы все были рыцарями, на всех фото было бы рыцаря — и каждый рыцарь солгал бы. Противоречие.
Значит, за столом есть лжец. Он солгал, поэтому ему прислали опасное фото. Значит, опасное фото существует.
Все рыцари — на опасном фото
Возьмём опасное фото. Если какого-то рыцаря на нём нет, это фото пришло ему по почте — а рыцарю опасных фото не присылали. Значит, все рыцари есть на этом фото, то есть сидят в трёх соседних креслах. Рыцарей не больше трёх.
Три рыцаря подряд не подходят: крайний из них получил фото, на котором двое других рыцарей и их сосед, — опасное фото без него самого. Значит, рыцарей ровно два (опасное фото есть, поэтому меньше двух быть не может).
Два рыцаря — только рядом
Пусть два рыцаря сидят через одного: рыцарь, лжец, рыцарь. За столом гостя, поэтому с другой стороны стола между рыцарями много людей, и единственное фото, где видны оба рыцаря, — эта тройка. На ней есть лжец между ними. Других опасных фото нет, значит, этому лжецу опасное фото не прислали — и он сказал правду. Противоречие.
Остаётся: два рыцаря сидят рядом. Проверим. Опасных фото два: рыцари со своим левым соседом и рыцари с правым соседом. Оба рыцаря есть на обоих — им опасных фото не прислали, они правы. Любой лжец не попал хотя бы на одно из этих фото, значит, получил опасное фото и солгал. Всё сходится.
Мог ли модератор узнать
Во втором комментарии рыцари написали правду — «». Лжецы написали любое число, кроме . Значит, модератор, увидев числа до удаления, мог узнать: написавшие «» — рыцари, остальные — лжецы.
Проверка
В модели «Рассади гостей» можно проверить любую рассадку для , , или гостей: противоречий нет только тогда, когда рыцарей двое и они сидят рядом. Для гостей рассуждение то же самое — нигде не использовалось, сколько именно гостей, кроме того, что их больше четырёх.
За столом было рыцаря, и они сидели рядом. Модератор мог узнать, кто рыцарь: рыцари написали число , а лжецы — другие числа.
Ответ
За столом было рыцаря, и они сидели рядом. Модератор мог узнать, кто рыцарь: рыцари написали число , а лжецы — другие числа.
Главная идея
Переведи слова на язык фото: «лжецов больше» — «не больше одного рыцаря». Опасное фото должно содержать всех рыцарей, иначе кто-то из рыцарей его получил. Это сразу сжимает всех рыцарей в три соседних кресла.
Признак: рыцари и лжецы высказываются о том, что видят. Найди объект, который «видят» не все (здесь — присланные фото), и спроси: что было бы, если бы рыцарь его увидел?
Где легко ошибиться
Считать, что комментарий относится ко всем фото, включая альбом, — тогда противоречие везде. Ещё забывают доказать, что рыцарей не меньше двух, или не проверяют, что найденная рассадка действительно подходит.
Источник и авторство
Турнир Архимеда · XXXIII Зимний турнир · 21 января 2024 · математика · единый вариант для 6 и 7 классов. Официальная задача 2.3, 8 баллов.
Условия задач (PDF организатора) ↗ · Условия и решения ↗ · Страница турнира ↗
Условие — из официального PDF, рисунок перерисован по нему. Подсказки, объяснение и модели — Popov Academy. Решение проверено; результат сопоставлен с официальными материалами.
Тема, знания и приёмы
Высказывания и логические выводы · Продвинутая подготовка
- Рыцари и лжецы
- Доказательство от противного
Приёмы решения: Логический вывод и исключение вариантов · Разбор случаев