Задача 1.4. Кодовый замок на 2024

Зачем искать примету

Шесть кнопок из двенадцати можно выбрать $924$ способами — перебирать все долго и легко ошибиться. Поступим как сыщик: найдём примету, которая сразу отсеет почти все наборы.

Удобная примета — остаток от деления на 9. Его легко найти: он равен остатку суммы цифр. Например, у $438$ сумма цифр $4+3+8=15$, а $15$ при делении на $9$ даёт остаток $6$ — значит, и $438$ даёт остаток $6$. И главное: остаток суммы равен остатку суммы остатков. Поэтому, зная остатки кнопок, можно узнать остаток всей суммы, не складывая сами числа.

Как это заметить: суммы цифр у чисел замка подозрительно похожи — почти всё время получается $13$, $15$ или $17$. Только у $240$ и $310$ суммы цифр $6$ и $4$, но остатки у них те же: $6$ и $4$.

Делим кнопки на три группы

Считаем остатки:

• остаток $6$: $438$, $240$, $276$, $348$, $258$ — пять кнопок;
• остаток $4$: $418$, $256$, $382$, $292$, $310$, $328$ — шесть кнопок;
• остаток $8$: только $296$.

У числа $2024$ сумма цифр $2+0+2+4=8$, значит, остаток $8$.

Сколько кнопок взять из каждой группы

Пусть из первой группы нажато $a$ кнопок, из второй — $b$. Сначала считаем, что $296$ не нажата. Тогда $a+b=6$, а остаток суммы — это остаток числа $6a+4b$. Переберём все случаи ($a$ не больше $5$: в первой группе всего пять кнопок):

Остаток $8$ только при $a=1$, $b=5$.

Теперь пусть $296$ нажата. Тогда остальных кнопок пять, $a+b=5$, и к сумме остатков добавляется $8$: получаем $8+6a+4b$, то есть $28, 30, 32, 34, 36, 38$ при $a=0,1,\ldots,5$. Остатки $1, 3, 5, 7, 0, 2$ — восьмёрки нет. Значит, $296$ нажимать нельзя.

Итак, нужна одна кнопка с остатком $6$ и пять кнопок с остатком $4$.

Какие именно кнопки

Сумма всех шести кнопок с остатком $4$:

Одну из них мы не нажимаем (её число обозначим $x$), а вместо неё добавляем одну кнопку с остатком $6$ (число $y$). Получится $1986-x+y=2024$, то есть $y$ больше $x$ ровно на $38$.

Проверим кнопки первой группы: $438-38=400$, $240-38=202$, $276-38=238$, $258-38=220$ — таких чисел во второй группе нет. И только $348-38=310$ — есть! Значит, не нажимаем $310$ и нажимаем $348$.