Задача 1.3. Аня умножает, Боря вычитает

Следим только за последней цифрой

После $10$ ходов $X$ уже трёхзначное, а после сотни ходов в нём десятки цифр. Но вопрос — только о последней цифре. При умножении на $3$ и при вычитании $1$ последняя цифра результата зависит только от последней цифры числа: например, $\ldots 7\cdot 3$ оканчивается на $1$, потому что $7\cdot 3=21$. Значит, можно следить только за последней цифрой.

Последние цифры повторяются

Начинаем с $1$. На схеме ниже каждый ряд — один ход: имя показывает, кто ходит, знак — что он делает, а крупные числа — последние цифры до и после хода. Синий цвет — ходы Ани, оранжевый — ходы Бори. Двойки обведены зелёной рамкой.

Например, на пятом ходу Аня умножает число, оканчивающееся на $5$, на $3$: произведение оканчивается так же, как $5\cdot3=15$, то есть на $5$.

После $8$-го хода последняя цифра снова $1$, как в начале, и ходит снова Аня. Повторились обе части состояния: последняя цифра и следующий игрок. Значит, дальше последние цифры повторяются с шагом $8$. Само число $X$ при этом растёт.

Цифра $2$ бывает после ходов с номерами $2, 7, 10, 15, 18, 23, \ldots$ — то есть на втором и седьмом месте каждой восьмёрки.

Сколько ходов могло быть

Аня ходит на нечётных ходах, Боря — на чётных. Если всего $n$ ходов, то у Бори их $n:2$ при чётном $n$, а у Ани — столько же или на один больше.

Аня сделала не меньше $62$ ходов, значит, $n\geqslant 123$ (при $n=123$ у Ани как раз $62$ хода). Боря сделал не больше $64$ ходов, значит, $n\leqslant 129$ (при $n=130$ у Бори было бы уже $65$). Остаются $n=123, 124, \ldots, 129$.

Выбираем нужный

Остатки при делении на $8$: $123\to 3$, $124\to 4$, $125\to 5$, $126\to 6$, $127\to 7$, $128\to 0$, $129\to 1$. Подходит только $127$ — остаток $7$. Ход $127$ нечётный, значит, последней ходила Аня. Проверим: у Ани $64$ хода, у Бори $63$ — условия выполнены.