Зимний турнир Архимеда 2024 · 6–7 кл., №1.1

Условие

На клетчатом столе лежит фигура (см. рис.), вырезанная из органического стекла. Требуется разрезать ее на две части так, чтобы их можно было совместить наложением. Резать можно по линиям сетки и диагоналям квадратов.

Рисунок к условию

О задаче

Олимпиада: Турнир Архимеда, XXXIII зимний турнир
Предмет / классы: Математика · 6–7 классы, единый вариант
Дата: 21 января 2024

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеРазрежь и совмести части

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Попробуй сам

Разрежь и совмести части

Попробуй свой разрез по линиям сетки и диагоналям клеток. Во вкладке «Как совпадут части» можно перевернуть и наложить части из разбора: ползунок покажет каждый момент.

Без JavaScript модель не работает. Перерисуй фигуру на клетчатую бумагу и проверь свой разрез ножницами.

На олимпиаде здесь нужен только рисунок разреза. Попробуй в модели «Разрежь и совмести части»: она сразу покажет части, их площади и скажет, совпадают ли они.

Здесь ответ — рисунок разреза. Подходит любой верный разрез: проверь свой в модели «Разрежь и совмести части».

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Сначала найди площадь фигуры: целые клетки плюс половинки. Каждая часть должна занимать ровно половину. Заметь ещё, что фигура из стекла: часть можно перевернуть другой стороной.

Подсказка 2

У фигуры есть длинная вертикальная сторона слева и длинная горизонтальная снизу, а также две «лестницы» по диагоналям. Попробуй сделать так, чтобы одной части досталась левая сторона и верхняя диагональ, а другой — нижняя сторона и правая диагональ: тогда при перевороте вертикаль станет горизонталью.

Разобрать решение по шагам

Сколько стекла в каждой части

Посчитаем площадь в клетках. Целых клеток в фигуре $7$ а ещё $6$ клеток разрезаны диагональю пополам — это $3$ клетки. Всего $7+3=10$ Части совпадают наложением, значит, у них одинаковая площадь: по $5$ клеток.

Зачем это нужно: площадь сразу отбрасывает разрезы, где одна часть заметно больше другой, и подсказывает, когда остановиться.

Какие стороны должны совпасть

Если одну часть положить на другую, совпадут и их края. Посмотрим на края фигуры. Слева — вертикальная сторона длиной $4$ клетки, снизу — горизонтальная длиной $3$ сверху — наклонная сторона из $3$ диагоналей клеток, справа внизу — ещё $2$ диагонали. Есть и два коротких края: одна диагональ клетки слева внизу и ступенька в одну клетку у выреза.

Поворотом на $180^\circ$ фигуру с собой не совместить: её верх и низ совсем разные. Зато стекло можно перевернуть. При перевороте относительно диагонали вертикальный край становится горизонтальным, а диагональ остаётся диагональю. Поэтому план такой: одной части оставим $3$ клетки левого края и верхнюю лестницу из $3$ диагоналей, другой — нижний край из $3$ клеток и лестницу из $3$ диагоналей справа.

Проводим разрез

Начнём слева на высоте $3$ клеток от верхнего угла: так у верхней части левый край будет длиной $3$ как нижний край у нижней части. Дальше ведём разрез по шагам:

по диагонали вниз-вправо на одну клетку;
вправо по линии сетки на одну клетку;
по диагонали вверх-влево;
вверх на одну клетку;
по диагонали вниз-вправо — прямо в угол выреза.

Последний шаг продолжает правую лестницу нижней части: у неё теперь тоже $3$ диагонали, как у верхней. А зигзаг в середине разреза — общая граница, она у обеих частей одинаковая.

Разрез — оранжевая ломаная. В синей и жёлтой части по

5

клеток.

Проверяем совпадение

Верхняя (синяя) часть: $2$ целые клетки и $6$ половинок — $2+3=5$ Нижняя (жёлтая): тоже $2$ целые клетки и $6$ половинок — $5$ Теперь положим жёлтую часть на синюю: перевернём её (отразим слева направо) и повернём на $90^\circ$ по часовой стрелке. Нижний край длиной $3$ ляжет на левый край синей части, лестницы — на лестницы, зигзаг — на зигзаг. Части совпали.

Жёлтую часть переворачиваем, поворачиваем на

90^\circ

— и она в точности совпадает с синей.

Проверка

Части совпадают только после переворота, и это разрешено: фигура вырезана из стекла, её можно положить другой стороной. Модель «Разрежь и совмести части» проверяет любой разрез: она делит фигуру на части, считает их площади и пробует совместить части всеми сдвигами, поворотами и переворотами.

Ответ

Разрез идёт от левой стороны (на $3$ клетки ниже верхнего угла) по ломаной: диагональ вниз-вправо, клетка вправо, диагональ вверх-влево, клетка вверх, диагональ вниз-вправо в угол выреза (см. рисунок). Получаются две части по $5$ клеток; одна совпадает с другой после переворота.

Ответ

Главная идея

Сначала площадь: каждая часть — половина. Потом края: при наложении стороны частей должны совпасть, а переворот превращает вертикальную сторону в горизонтальную.

Признак: «разрежьте на две равные части», а фигура несимметрична. Посчитай площадь и сравни длины сторон: равные по длине стороны разной ориентации подсказывают переворот или поворот на $90^\circ$

Где легко ошибиться

Искать только центральную симметрию (поворот на $180^\circ$ ) и забыть, что стекло можно перевернуть. Ещё ошибаются при подсчёте площади, считая половинки клеток целыми.

Источник и авторство

Турнир Архимеда · XXXIII Зимний турнир · 21 января 2024 · математика · единый вариант для 6 и 7 классов. Официальная задача 1.1, 4 балла.

Условия задач (PDF организатора) ↗ · Условия и решения ↗ · Страница турнира ↗

Условие — из официального PDF, рисунок перерисован по нему. Подсказки, объяснение и модели — Popov Academy. Решение проверено; результат сопоставлен с официальными материалами.

Продолжить тему: Преобразования и разбиения →

Тема, знания и приёмы

Преобразования и разбиения · Начальный вход

Площадь на клетчатой бумаге
Повороты и отражения фигур

Приёмы решения: Симметрия и попарное соответствие · Разделение пространства поиска

Задать вопрос по задаче →

Задача 1.1. Разрезать стекло на две равные части

А твой разрез подойдёт?