Задача 1.2. Доминошки на лесенке

Нечётный блок не обойдётся сам

Верхний левый блок — квадрат $3\times 3$, в нём $9$ клеток. Доминошка накрывает две клетки, поэтому $9$ клеток нельзя целиком покрыть доминошками только внутри блока: одна клетка обязательно окажется в паре с клеткой снаружи.

Какая? С остальной доской граничит только правая нижняя клетка блока — её соседи справа и снизу уже не в блоке. Остальные клетки блока граничат только с клетками своего блока или с краем доски. Значит, правая нижняя клетка блока всегда идёт в пару с клеткой средней части.

Так же устроен нижний правый блок $3\times 3$: наружу смотрит только его левая верхняя клетка, и она всегда в паре со средней частью.

Доска распадается на три куска

Отдадим эти две угловые клетки средней части. Получим три куска по $8$ клеток: верхний блок без угла, нижний блок без угла и средняя часть. Средняя часть — тоже квадрат $3\times 3$ без одной угловой клетки.

Теперь ни одна доминошка не лежит в двух кусках сразу: связи между кусками проходят только через угловые клетки, а они уже отданы средней части. Значит, каждый кусок режется сам по себе, и способ для одного куска можно сочетать с любым способом для другого.

Квадрат без угла: 4 способа

Посмотрим на центральную клетку квадрата $3\times 3$ без угла. Она идёт в пару с одной из четырёх соседних: вверх, влево, вправо или вниз. После этого всё остальное определяется однозначно: в каждом случае угловые клетки могут лечь только одним способом (это видно на рисунке). Значит, способов ровно $4$.

Считаем все способы

Для верхнего куска $4$ способа, для среднего $4$, для нижнего $4$, и их можно сочетать как угодно. Всего $4\cdot 4\cdot 4=64$ способа.