Зимний турнир Архимеда 2024 · 6–7 кл., №2.2

Условие

Мячик. Дядя Федор и пес Шарик стояли в реке недалеко от берега. Дядя Федор кинул вдоль берега два мячика (синий и красный) против течения реки так, что они упали в воду одновременно.

Когда мячики коснулись воды, Шарик поплыл им навстречу. Схватив красный мячик, он отнес его Дяде Федору, а затем поплыл за синим. Синий мячик он подобрал на том же месте, что и красный. Известно, что собственная скорость Шарика постоянна и втрое больше скорости течения реки. Во сколько раз дальше улетел синий мячик, нежели красный?

О задаче

Олимпиада: Турнир Архимеда, XXXIII зимний турнир
Предмет / классы: Математика · 6–7 классы, единый вариант
Дата: 21 января 2024

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеГде упал синий мячик

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Предскажи и проверь

Где упал синий мячик

Выбери место падения синего мячика и запусти общие часы. Шарик принесёт красный мячик, затем поплывёт за синим. Добейся, чтобы места поимки совпали; следи, как всё это время движется синий.

Без JavaScript модель не работает. Нарисуй реку и отметь, где Шарик встретит красный мячик, — это первый шаг разбора.

Здесь важно не запутаться, кто куда плывёт. Попробуй в модели «Где упал синий мячик»: передвинь место падения синего мячика так, чтобы Шарик поймал оба мячика в одной точке. Потом объясни, почему ответ именно такой.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Удобно считать всё относительно берега. Если течение несёт со скоростью $1$ то против течения Шарик плывёт со скоростью $3-1=2$ а по течению — $3+1=4$ Мячики просто сплывают вниз со скоростью $1$

Подсказка 2

Ответ — отношение, поэтому расстояние до красного мячика можно выбрать любым удобным, например $6$ м. Найди, где Шарик встретит красный мячик, сколько секунд займут все три заплыва и сколько за это время проплыл синий мячик.

Разобрать решение по шагам

Скорости относительно берега

Дядя Фёдор стоит на месте, поэтому все расстояния удобно отсчитывать от него вдоль берега. Скорость течения обозначим $1\ \text{м/с}$ ответ — отношение расстояний, и от выбора единиц он не зависит (если течение и Шарик будут вдвое быстрее, всё произойдёт вдвое быстрее, но в тех же местах).

Собственная скорость Шарика — $3\ \text{м/с}$ Против течения река тормозит его: относительно берега он плывёт со скоростью $3-1=2\ \text{м/с}$ По течению река помогает: $3+1=4\ \text{м/с}$ Мячики после падения сплывают вниз со скоростью течения, $1\ \text{м/с}$

Где Шарик встретит красный мячик

Пусть красный мячик упал в $6$ м от дяди Фёдора (число выбрано так, чтобы всё делилось нацело; почему можно выбрать любое — в проверке).

Шарик плывёт к мячику со скоростью $2\ \text{м/с}$ мячик плывёт навстречу со скоростью $1\ \text{м/с}$ вместе они сближаются на $3$ м каждую секунду. Значит, встретятся через $6:3=2$ с. За это время Шарик проплыл $2\cdot 2=4$ м. Место встречи — в $4$ м от дяди Фёдора.

Обратно и снова туда

Обратно Шарик несёт мячик по течению: $4$ м со скоростью $4\ \text{м/с}$ — это $1$ с. Теперь прошло $2+1=3$ с.

Синий мячик Шарик подобрал на том же месте, то есть снова в $4$ м от дяди Фёдора. Против течения он плывёт туда $4:2=2$ с. Значит, синий мячик пойман в момент $3+2=5$ с после падения.

Откуда приплыл синий мячик

Все эти $5$ с синий мячик сплывал по течению со скоростью $1\ \text{м/с}$ то есть проплыл $5$ м и оказался в $4$ м от дяди Фёдора. Значит, упал он в $4+5=9$ м.

Сравним: синий улетел на $9$ м, красный — на $6$ м. Синий улетел в $9:6=1{,}5$ раза дальше.

Вверх — расстояние от дяди Фёдора, вправо — общее время. Коричневая линия показывает, как меняется расстояние от Шарика до Фёдора. Красная и синяя — движение мячиков до поимки. Кружки лежат на одной высоте: обе встречи произошли в

4

м от Фёдора, через

2

5

с. Начальные точки мячиков —

6

9

м. Числа выбраны для удобства, как в разборе.

Проверка

Проверим, что ответ не зависит от выбора $6$ м. Если красный упал на расстоянии $r$ то Шарик встречает его через $r:3$ с в точке $\frac23 r$ возвращается за $\frac23 r:4=\frac16 r$ с и плывёт обратно в ту же точку ещё $\frac23 r:2=\frac13 r$ с. Всего проходит $\frac13 r+\frac16 r+\frac13 r=\frac56 r$ с, синий сплывает на $\frac56 r$ м и упал в $\frac23 r+\frac56 r=\frac32 r$ . Отношение снова $1{,}5$ В модели видно то же самое: места поимки совпадают, только когда синий упал в $9$ м.

Ответ

Синий мячик улетел в $1{,}5$ раза дальше красного.

Ответ

Синий мячик улетел в $1{,}5$ раза дальше красного.

Главная идея

Считай скорости относительно берега: против течения $3-1=2$ по течению $3+1=4$ А чтобы найти, откуда приплыл синий мячик, достаточно знать, сколько времени он сплывал.

Признак: «собственная скорость» и «течение» в одной задаче. Сразу запиши скорости по течению и против течения относительно берега, а неизвестное расстояние замени удобным числом — ответ-отношение от этого не изменится.

Где легко ошибиться

Забыть, что мячики не стоят на месте, а сплывают по течению, и считать, что Шарик проплывает до красного все $6$ м. Ещё путают скорости: против течения Шарик плывёт относительно берега со скоростью $2$ а не $3$

Источник и авторство

Турнир Архимеда · XXXIII Зимний турнир · 21 января 2024 · математика · единый вариант для 6 и 7 классов. Официальная задача 2.2, 6 баллов.

Условия задач (PDF организатора) ↗ · Условия и решения ↗ · Страница турнира ↗

Условие — из официального PDF, рисунок перерисован по нему. Подсказки, объяснение и модели — Popov Academy. Решение проверено; результат сопоставлен с официальными материалами.

Продолжить тему: Задачи на движение →

Тема, знания и приёмы

Задачи на движение · Начальный вход

Скорость, время, расстояние
Движение по течению и против течения

Приёмы решения: Относительное движение · Удачная подстановка или замена

Задать вопрос по задаче →