Шаг в будущее 2025/26 · Физика · 8 кл., №6 — решение · финал

Условие

Двухкомпонентный жидкостный ракетный двигатель (ЖРД) создаёт тягу за счёт преобразования химической энергии компонентов топлива (горючего и окислителя) в кинетическую энергию реактивной струи продуктов сгорания. Одним из самых распространенных топлив для ракет-носителей («Союз», «Фалькон», «Чанчжэн» и др.) является пара: керосин (горючее) и кислород (окислитель). Для повышения мощности керосин-кислородного ракетного двигателя предлагается заменять часть керосина на горючее с большей теплотой сгорания, тем самым осуществляется переход к трёхкомпонентному ЖРД. Для этих целей может использоваться порошкообразный алюминий, частицы которого подаются в камеру сгорания ракетного двигателя и после сгорания (окисления) вместе с потоком других продуктов сгорания через сопло выбрасываются в окружающее пространство. При этом алюминий сгорает не сразу, что в дальнейшем может вызывать возгорание, если его частицы заденут внутреннюю стенку камеры сгорания или другие частицы. Установлено, что доля частиц, имеющих возможность контактировать со стенкой, составляет $\delta=0{,}0975$ от числа всех частиц алюминия, при этом стенку задевает только каждая тысячная частица из них. При касании стенки воспламеняется одна частица из 10000. От загоревшейся частицы воспламенение стенки происходит в одном случае из 100000. Частицы по сечению распределены равномерно. Определите какое минимальное количество частиц алюминия нужно добавить в бак, чтобы гарантировано произошло воспламенение стенки. На сколько процентов изменится объём бака горючего ракеты-носителя с керосин-кислородным ракетным двигателем РД-190, если 10% массы керосина (плотность $800\,\text{кг/м}^3$ ) заменить на порошкообразный алюминий (плотность $2700\,\text{кг/м}^3$ )?

О задаче · 8 класс · 20 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Физика · 8 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 6

Официальные баллы20 баллов

Сложность Popov Academy4/5 · предварительно

Для подготовки: 8 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Что именно гарантирует среднее число событий, равное единице?

Подсказка 2

Разберите вероятностную часть отдельно от $V=m/\rho$ и сохранения общей массы.

Разобрать решение по шагам

Сначала уточним, что означает «гарантировано»

Проценты и частоты сами по себе не обещают событие в каждой конечной серии. Если они описывают вероятности, следует различать среднее число событий и вероятность хотя бы одного события. Ниже рассматриваем именно эту статистическую модель; вывод о гарантии не заменяем числом из официального ответа.

Последовательные доли перемножаются

Доля каждого следующего отбора относится к предыдущему. Поэтому вероятность конечного события для одного исходного элемента равна

p=0{,}0975\cdot\frac1{1000}\cdot\frac1{10000}\cdot\frac1{100000}=9{,}75\cdot10^{-14}.

Для $N$ элементов среднее число таких событий равно $Np$ Условие $Np=1$ даёт

N=\frac1p\approx1{,}02564\cdot10^{13}.

Это объясняет происхождение официального числа: оно соответствует среднему одному событию, а не гарантии.

Почему никакое конечное число не даёт вероятности 1

Если испытания независимы, вероятность отсутствия события в каждом из них равна $1-p$ Для всей серии

P(\text{ни одного})=(1-p)^N>0

при любом конечном $N$ и $0<p<1$ Следовательно, строгого минимального $N$ гарантирующего событие, в этой модели нет. Независимость — отдельная явно названная предпосылка. Без неё приведённых частот тем более недостаточно, чтобы установить гарантию; понадобилось бы правило о гарантированных квотах в конечных группах.

Вторая часть — отдельный баланс объёмов

Рассмотрим только абстрактную замену равных масс материалов. Пусть исходная масса — $M$ После замены масса первого материала $0{,}9M$ второго — $0{,}1M$ По определению плотности $V=m/\rho$

V_0=\frac{M}{800},\qquad V_1=\frac{0{,}9M}{800}+\frac{0{,}1M}{2700}.

Здесь принята учебная модель сложения объёмов; пустоты между частицами порошка не учитываются. Реальный насыпной объём по одной плотности вещества неизвестен.

Сравним с исходным объёмом

Делим оба слагаемых на $V_0=M/800$

\frac{V_1}{V_0}=0{,}9+0{,}1\frac{800}{2700}=\frac{251}{270}.

Относительное уменьшение равно

\frac{V_0-V_1}{V_0}=1-\frac{251}{270}=\frac{19}{270}\approx0{,}07037.

То есть в названной модели объём уменьшается примерно на $7{,}04\%$ Эта часть не зависит от вероятностной трактовки первой.

Ответ

При независимой вероятностной модели конечного числа, дающего строгую гарантию, нет. Официальное $N\approx1{,}026\cdot10^{13}$ соответствует среднему одному событию. В модели аддитивных объёмов уменьшение составляет $\frac{19}{270}\cdot100\%\approx7{,}04\%$ .

Главная идея

Доли последовательных отборов перемножаются; равная масса более плотного материала занимает меньший объём.

Как заметить эту идею в другой задаче

Различайте расчётное среднее число событий и гарантированное событие.

Возможная ошибка

Обратная вероятность одного события задаёт в среднем одно событие, но не строгую гарантию.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 13 · задача 6 ↗

Шаг в будущее · 2025/26 · физика · 8 класс · заключительный этап · вариант 1.

Разбор с оговоркой об источнике: условия или официальный ответ требуют уточнения. Ниже явно разделены вывод и допущения.

Примечания к источнику

На странице 14 официальный разбор приравнивает расчётное число $\frac{N\delta}{10^{12}}$ к 1, но не обосновывает требуемую условием гарантию. Без уточнения, что доли являются гарантированными квотами, остаётся смысловой конфликт. Во второй части дополнительно требуется идеализация аддитивных объёмов без пустот порошка.

Можете объяснить решение своими словами?

Тема, знания и приёмы

Плотность и измерения · Уровень уточняется

Проценты и последовательные доли
Различие вероятности, среднего и гарантии
Связь массы, объёма и плотности

Приёмы решения: Баланс сохраняемой величины

Задать вопрос по задаче →