Шаг в будущее 2025/26 · Физика · 8 кл., №3 — решение · финал

Условие

Торт медовик представляет из себя слои коржей и крема, поочередно установленные друг на друга и имеющие постоянную толщину. Известно, что толщина слоя теста на $15\,\%$ меньше толщины слоя крема, а плотность крема на $20\,\%$ больше плотности теста. Найдите среднюю плотность торта, если плотность крема $\rho$ Считать количество слоев коржей равным количеству слоев крема.

О задаче · 8 класс · 16 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Физика · 8 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 3

Официальные баллы16 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy2/5 · предварительно

Для подготовки: 8 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Достаточно рассмотреть одну пару слоёв: корж и крем. Найдите массу и объём этой пары.

Подсказка 2

Плотность крема на $20\,\%$ больше плотности теста: выразите плотность теста делением на $1{,}2$ Среднюю плотность считайте как всю массу, делённую на весь объём.

Разобрать решение по шагам

Возьмём одну пару слоёв

Возьмём крем толщиной $h$ и площадью $S$ «На $15\%$ меньше» означает, что толщина коржа равна $(1-0{,}15)h=0{,}85h$ Плотность крема на $20\%$ больше плотности теста:

\rho=1{,}2\rho_{\text{т}},\qquad \rho_{\text{т}}=\frac{\rho}{1{,}2}.

Объём прямого слоя — площадь основания, умноженная на толщину; масса — плотность, умноженная на объём:

Слой	Объём	Масса
Крем	$Sh$	$\rho Sh$
Корж	$0{,}85Sh$	$\frac{\rho}{1{,}2}\cdot0{,}85Sh$

При $n$ парах и суммарная масса, и суммарный объём умножатся на $n$ Поэтому достаточно одной пары.

Одна пара слоёв с одинаковой площадью основания

Разделим массу пары на её объём

Масса крема равна $\rho Sh$ масса теста — $\frac{\rho}{1{,}2}\cdot0{,}85Sh$ . Поэтому

\rho_{\text{ср}}=\frac{\rho Sh+\frac{\rho}{1{,}2}\cdot0{,}85Sh}{Sh+0{,}85Sh}=\rho\frac{1+\frac{0{,}85}{1{,}2}}{1{,}85}.

Чтобы получить точный ответ, заменим десятичные дроби обыкновенными:

\rho_{\text{ср}}=\rho\frac{1+\frac{17}{24}}{\frac{37}{20}}=\frac{205}{222}\rho\approx0{,}9234\rho.

Результат находится между плотностью теста $\frac56\rho$ и плотностью крема $\rho$

Ответ

$\rho_{\text{ср}}=\frac{205}{222}\rho\approx0{,}9234\rho$ .

Главная идея

Средняя плотность составного тела определяется объёмами компонентов, а не простым средним их плотностей.

Как заметить эту идею в другой задаче

У повторяющихся одинаковых слоёв можно взять один повторяющийся фрагмент: его средняя плотность совпадает со средней плотностью всего изделия.

Возможная ошибка

Из того, что крем на $20\,\%$ плотнее теста, не следует, что тесто на $20\,\%$ менее плотное крема: процент взят от другой исходной величины.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 6 · задача 3 ↗

Шаг в будущее · 2025/26 · физика · 8 класс · заключительный этап · вариант 1.

Авторский разбор Popov Academy.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Плотность и измерения →

Тема, знания и приёмы

Плотность и измерения · Нужна школьная база

Единицы СИ
плотность как отношение массы к объёму

Приёмы решения: Среднее и взвешенное среднее

Задать вопрос по задаче →