Шаг в будущее 2025/26 · Физика · 8 кл., №2 — решение · финал

Условие

При подключении схемы к идеальному источнику напряжения идеальный амперметр показывает в установившемся режиме $3\,\text{А}$ После замыкания ключей он стал показывать в установившемся режиме $30\,\text{А}$ Что будет показывать тот же амперметр, если резистор $R_3$ поменять местами с замкнутым ключом $K_1$ а ключ $K_2$ разомкнуть? Отношение сопротивления первого резистора к сопротивлению второго равно $0{,}5$ Сопротивлением проводов пренебречь.

Исходная схема с разомкнутыми ключами. Точки A, B, C, D — дополнительные обозначения соединений; круг A — амперметр. Схема перерисована с сохранением всех связей.

О задаче · 8 класс · 15 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Физика · 8 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 2

Официальные баллы15 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy4/5 · предварительно

Для подготовки: 8 класс.

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Проверьте соединения сами

Для каждого допустимого сопротивления третьего резистора напряжение выбрано так, чтобы исходный ток был 3 А. Это демонстрационный масштаб, а не дополнительные данные условия.

Допустимый случай

Кнопка сценария задаёт оба ключа и расположение элементов заново. Выбранный случай сопротивления сохраняется. Ниже можно исследовать остальные комбинации.

Поменять местами R₃ и K₁

R_1=r,\quad R_2=2r,\quad R_3=xr

. Для показа выбрано

r=1\,\text{Ом}

U=3(3+x)\,\text{В}

Статичный режим

Узлы A, B, C, D; R₁, R₂, R₃ — резисторы. Состояния ключей указаны в управлении. Полный путь тока показан на схеме.

Показано условное направление установившегося тока во внешней цепи: от + к −, через подводящие провода, рабочие ветви и амперметр. Маркеры не изображают электроны, их скорость или постепенное заполнение проводов. Амперметр измеряет общий ток.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Перерисуйте три состояния цепи, объединяя точки, соединённые проводом или замкнутым ключом.

Подсказка 2

Напряжение источника не меняется, поэтому отношение токов задаёт обратное отношение эквивалентных сопротивлений. Выразите сопротивления через одну величину и проверьте все положительные решения.

Разобрать решение по шагам

Состояние 1: оба ключа разомкнуты

Назовём левый вход цепи $A$ соединение $R_1$ и $R_2$ — $B$ соединение $R_2$ и $R_3$ — $C$ правый выход перед амперметром — $D$ Ключ $K_1$ соединяет $A$ с $C$ а $K_2$ — $B$ с $D$ Оба ключа разомкнуты: через эти ветви ток не проходит. Остаётся единственный путь от $A$ к $D$ — через $R_1$ затем $R_2$ затем $R_3$ Поэтому во всех трёх резисторах ток одинаков, а сопротивления складываются:

R_{\text{откр}}=R_1+R_2+R_3.

По закону Ома показание амперметра, данное в условии, записывается так:

I_{\text{откр}}=\frac{U}{R_1+R_2+R_3}=3\,\text{А}.

На рисунке сначала оставлены все провода и открытые ключи, затем убраны ветви, по которым ток идти не может.

Состояние 2: замкнутые ключи объединяют узлы

Теперь $K_1$ соединяет $A$ и $C$ идеальным проводом: это один узел, отмеченный зелёным. Ключ $K_2$ точно так же объединяет $B$ и $D$ во второй узел, отмеченный охрой. Проверьте концы каждого резистора: у $R_1$ это $A$ и $B$ у $R_2$ — $B$ и $C$ у $R_3$ — $C$ и $D$ Каждый резистор соединяет одну и ту же пару узлов. Значит, все три включены параллельно — даже если на исходном чертеже они расположены в ряд.

При перерисовке мы меняем только форму проводов, но не подключения. Напряжение на каждой ветви равно $U$ а общий ток складывается из токов ветвей:

\begin{aligned}\frac1{R_{\text{замк}}}&=\frac1{R_1}+\frac1{R_2}+\frac1{R_3},\\[0.45em]I_{\text{замк}}&=U\left(\frac1{R_1}+\frac1{R_2}+\frac1{R_3}\right)=30\,\text{А}.\end{aligned}

При положительной клемме у $A$ условный ток через $R_2$ теперь идёт от $C$ к $B$ направление изменилось, потому что $C$ соединена с положительной клеммой, а $B$ — с отрицательной.

Используем отношение токов

Положим $R_1=r$ $R_2=2r$ $R_3=xr$ где $r>0$ $x>0$ Идеальный источник сохраняет напряжение $U$ поэтому по закону Ома $I=U/R$ увеличение тока в десять раз означает уменьшение сопротивления в десять раз. Для параллельных ветвей складываются токи при одном напряжении:

\frac1{R_{\text{замк}}}=\frac1r+\frac1{2r}+\frac1{xr}.

Теперь составим отношение сопротивлений и раскроем скобки:

\begin{aligned}(3+x)\left(\frac32+\frac1x\right)&=10,\\[0.45em](3+x)(3x+2)&=20x,\\[0.45em]3x^2+11x+6&=20x,\\[0.45em]3(x^2-3x+2)&=0,\\[0.45em](x-1)(x-2)&=0.\end{aligned}

Мы умножали на $2x\ne0$ оба найденных корня положительны и допустимы. Возможны $R_3=r$ и $R_3=2r$

Состояние 3: переставляем R₃ и K₁

Перестановка означает перенос двух элементов, а не изменение их сопротивлений: $R_3$ теперь стоит между $A$ и $C$ а замкнутый $K_1$ — между $C$ и $D$ Ключ $K_2$ разомкнут. Поэтому $C$ и $D$ образуют один узел. Между $A$ и этим узлом есть две ветви: отдельный $R_3$ и последовательная пара $R_1$ $R_2$ Через внутреннюю точку $B$ ток не разветвляется, поскольку $K_2$ разомкнут.

Сначала складываем сопротивления верхней ветви, затем соединяем две ветви параллельно:

\begin{aligned}R_{\text{нов}}&=\frac{R_3(R_1+R_2)}{R_1+R_2+R_3}\\[0.45em]&=\frac{xr\cdot3r}{3r+xr}=\frac{3xr}{3+x}.\end{aligned}

Амперметр находится после объединения ветвей и измеряет их суммарный ток $I_{\text{нов}}=\frac{U}{R_{\text{нов}}}$ . Осталось подставить каждый из двух допустимых случаев.

Рассчитаем ток в обоих случаях

Сравним новый ток с первоначальным, чтобы не искать неизвестное напряжение:

\frac{I_{\text{нов}}}{3\,\text{А}}=\frac{R_{\text{откр}}}{R_{\text{нов}}}=\frac{(3+x)^2}{3x}.

Поэтому

I_{\text{нов}}=\frac{(3+x)^2}{x}\,\text{А}.

При $x=1$ получаем $16\,\text{А}$ при $x=2$ — $12{,}5\,\text{А}$ В обоих случаях исходные измерения согласуются с положительными сопротивлениями, поэтому сохранить нужно оба ответа.

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

$16\,\text{А}$ или $12{,}5\,\text{А}$

Главная идея

Сначала распознаём последовательное и параллельное соединения по узлам, затем используем неизменность напряжения источника.

Как заметить эту идею в другой задаче

Если идеальные ключи меняют соединения, сравнивайте узлы цепи, а не внешний вид её линий. Два измерения могут допускать несколько наборов сопротивлений.

Возможная ошибка

Остановиться на одном положительном корне уравнения означает потерять второй возможный ответ. Дополнительных данных для выбора одного случая в условии нет.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 3 · задача 2 ↗

Шаг в будущее · 2025/26 · физика · 8 класс · заключительный этап · вариант 1.

Авторский разбор Popov Academy.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Электрические цепи →

Тема, знания и приёмы

Электрические цепи · Нужна школьная база

Закон Ома
последовательное и параллельное соединение

Приёмы решения: Узлы и эквивалентная цепь · Разбор случаев

Задать вопрос по задаче →