Шаг в будущее 2025/26 · Физика · 8 кл., №1 — решение · финал

Условие

Ко дну цилиндрической бочки с водой привязан нитью кусок льда так, что над поверхностью выступает некоторый его объем. При этом нить натянута с силой $8\,\text{Н}$ Найдите изменение уровня воды в бочке, если весь лед растает. Плотность воды $1000\,\text{кг/м}^3$ Площадь дна бочки $800\,\text{см}^2$ Ускорение свободного падения принять за $10\,\text{м/с}^2$

Схема к условию: лёд частично выступает над водой, нить натянута.

Натяжение $T=8\,\text{Н}$ площадь дна $S=800\,\text{см}^2$ плотность воды $\rho=1000\,\text{кг/м}^3$ Уровень обозначен $h$

О задаче · 8 класс · 10 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Физика · 8 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 1

Официальные баллы10 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy3/5 · предварительно

Для подготовки: 8 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Нарисуйте мысленно силы на льду: вес и натяжение направлены вниз, сила Архимеда — вверх.

Подсказка 2

Из-за нити сила Архимеда должна удерживать не только вес льда. Сравните первоначально вытесненный объём с объёмом воды, в которую превратится лёд.

Разобрать решение по шагам

Нить заставляет лёд погрузиться глубже

Рассмотрим начальное равновесие. На лёд действуют три силы: сила Архимеда $F_A$ вверх, сила тяжести $mg$ вниз и натяжение нити $T$ вниз. В отличие от свободно плавающего льда, сила Архимеда уравновешивает две направленные вниз силы:

F_A=mg+T.

Здесь $m$ — вся масса льда, а $T=8\,\text{Н}$ — именно начальное натяжение.

Один и тот же брусок показан трижды, чтобы стрелки не перекрывали друг друга. Форма льда выбрана для схемы; размеры и длины стрелок не являются данными задачи.

Сила $mg$ приложена в центре масс всего льда. Сила $F_A$ проходит через центр погружённого объёма. Сила $T$ приложена в точке крепления нити и направлена к дну. В начальном состоянии $F_A=mg+T$ $T=8\,\text{Н}$

Сравним два объёма

Обозначим погружённую часть льда через $V_{\text{погр}}$ плотность воды — через $\rho$ По закону Архимеда $F_A=\rho gV_{\text{погр}}$ . Подставим это в равновесие и разделим на $\rho g$

\begin{aligned}\rho gV_{\text{погр}}&=mg+T,\\[0.3em]V_{\text{погр}}&=\frac{m}{\rho}+\frac{T}{\rho g}.\end{aligned}

После полного таяния масса не изменится, поэтому из льда получится вода объёмом $V_{\text{тал}}=\frac{m}{\rho}$ . Она займёт меньше места под поверхностью воды, чем раньше занимала погружённая часть льда. Разница:

V_{\text{погр}}-V_{\text{тал}}=\frac{T}{\rho g}=\frac{8}{1000\cdot10}\,\text{м}^3=0{,}0008\,\text{м}^3=0{,}8\,\text{л}.

Недостающий объём означает понижение уровня

В цилиндрической бочке слой высоты $\Delta h$ имеет объём $S\Delta h$ Площадь дна переводим в квадратные метры:

S=800\cdot10^{-4}\,\text{м}^2=0{,}08\,\text{м}^2.

Пусть изменение уровня — конечный уровень минус начальный. Тогда

\begin{aligned}\Delta h&=\frac{V_{\text{тал}}-V_{\text{погр}}}{S}\\[0.3em]&=-\frac{0{,}0008}{0{,}08}\,\text{м}=-0{,}01\,\text{м}=-1\,\text{см}.\end{aligned}

Масса льда не понадобилась: сократился общий объём $\frac{m}{\rho}$ а дополнительное вытеснение определялось натяжением нити.

Понижение уровня увеличено для наглядности. Промежуточные формы тающего льда не моделируются.

Из льда получится $V_{\mathrm{тал}}=\frac m\rho$ . Этот объём на $0{,}8\,\text{л}$ меньше первоначального $V_{\mathrm{погр}}$ Поэтому конечный уровень ниже на $1\,\text{см}$

Что мы установили о таянии

Надёжно определены начальные силы и разница между начальным и конечным уровнями. Закон изменения формы льда, теплообмен и поведение нити в промежуточные моменты не заданы. Поэтому схема перехода между состояниями объясняет баланс объёмов, но не задаёт точную динамику таяния. Значение $T=8\,\text{Н}$ нельзя автоматически переносить на всё время процесса.

Ответ

Уровень понизится на $1\,\text{см}$ $\Delta h=-1\,\text{см}$

Главная идея

Натянутая нить заставляет лёд вытеснять больше воды, чем вытеснял бы свободно плавающий кусок.

Как заметить эту идею в другой задаче

Если плавающее тело дополнительно удерживается нитью, сначала включите натяжение в равновесие, а затем сравните вытесненный объём с объёмом воды после таяния.

Возможная ошибка

Для свободно плавающего льда уровень не меняется, но натянутая нить создаёт дополнительное вытеснение. Начальные $8\,\text{Н}$ нельзя переносить на все промежуточные состояния.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 1 · задача 1 ↗

Шаг в будущее · 2025/26 · физика · 8 класс · заключительный этап · вариант 1.

Авторский разбор Popov Academy.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Жидкости и плавание →

Тема, знания и приёмы

Жидкости и плавание · Нужна школьная база

Закон Архимеда
Равновесие сил
Плотность и объём

Приёмы решения: Уравнение сил · Баланс сохраняемой величины

Задать вопрос по задаче →