Шаг в будущее 2025/26 · Физика · 8 кл., №4 — решение · финал

Условие

На рисунке изображена находящаяся в положении равновесия система из невесомых рычага, нитей и блоков, трение в которых отсутствует. Зная $L_1$ и $L_2$ определите отношение массы первого груза к массе второго. Сделайте чертеж с указанием всех действующих на систему сил.

Система из одной непрерывной нити, четырёх блоков и рычага

О задаче · 8 класс · 18 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Физика · 8 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 4

Официальные баллы18 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy4/5 · предварительно

Для подготовки: 8 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Проследите одну непрерывную нить от закреплённого конца до правого конца рычага. У каждого подвижного блока есть две поддерживающие ветви.

Подсказка 2

На рычаг вверх действуют две силы по $2T$ и одна сила $T$ Запишите равновесие вертикальных сил, затем моментов относительно левого конца.

Разобрать решение по шагам

Найдём силы, передаваемые рычагу

Обозначим натяжение длинной непрерывной нити через $T$ Её левый конец закреплён к потолку; затем нить огибает левый подвижный блок, большой неподвижный, средний подвижный и правый неподвижный блок, а свободный конец присоединён к правому концу рычага. Каждый подвижный блок поддерживается двумя ветвями и передаёт рычагу силу $2T$ вверх. Свободный конец нити тянет правую точку рычага вверх с силой $T$ Грузы тянут концы рычага вниз с силами $m_1g$ и $m_2g$

Силы на отдельном подвижном блоке, неподвижном блоке и грузе

Запишем равновесие вертикальных сил

Рычаг невесом, поэтому суммарная сила вверх равна суммарной силе вниз:

2T+2T+T=(m_1+m_2)g.

Следовательно,

5T=(m_1+m_2)g.

Это первое уравнение; для отношения масс потребуется ещё равновесие моментов.

Возьмём моменты относительно левого конца

У сил, приложенных в левой точке, плечо равно нулю. Средний подвижный блок находится на расстоянии $L_1$ а правый конец — на расстоянии $L_1+L_2$ Вверх вращают силы $2T$ и $T$ вниз — тяжесть второго груза:

2TL_1+T(L_1+L_2)=m_2g(L_1+L_2).

Отсюда

m_2g=T\frac{3L_1+L_2}{L_1+L_2}.

Из суммы сил получаем

m_1g=5T-m_2g=T\frac{2L_1+4L_2}{L_1+L_2}.

Свободное тело: невесомый рычаг, силы и плечи относительно A

Разделим уравнения и проверим остальные опоры

Деление исключает неизвестные $T$ и $g$

\frac{m_1}{m_2}=\frac{2L_1+4L_2}{3L_1+L_2}=\frac{2(L_1+2L_2)}{3L_1+L_2}.

Для полноты схемы сил: каждый неподвижный блок нить тянет вниз двумя силами $T$ а потолок действует на его ось вверх с силой $2T$ В точке закрепления конца нити потолок действует на неё вверх с силой $T$ На каждый груз действуют тяжесть вниз и сила его подвеса вверх. Все блоки и рычаг невесомы, поэтому дополнительных сил тяжести у них нет.

Ответ

$\displaystyle\frac{m_1}{m_2}=\frac{2(L_1+2L_2)}{3L_1+L_2}$ .

Главная идея

Идеальная нить имеет одинаковое натяжение во всех ветвях. Заменяем действие каждого подвижного блока на рычаг силой $2T$ и применяем два условия равновесия.

Как заметить эту идею в другой задаче

В системе рычагов и блоков сначала определите силы от нитей, затем выберите точку для моментов, в которой приложено как можно больше неизвестных сил.

Возможная ошибка

Правый конец рычага удерживает одна ветвь нити, а не подвижный блок. Приписав ему силу $2T$ вы измените и сумму сил, и момент.

Источник и примечания