Шаг в будущее 2025/26 · Математика · 8 кл., №6

Условие

Металлический завод выпускает три типа открытых желобов с максимально возможной площадью поперечного сечения при данной ширине листа. Характеристики желобов приведены в таблице:

	Трапециевидный*	Полукруглый	Квадратный
Ширина листа	$6$ м	$\sqrt{3\pi\sqrt3}$ м	$9\sqrt[4]{3}$ м
Стоимость, у.е.**	$3$	$2$	$6$

* равнобокая трапеция с углом $120^\circ$

** стоимость единицы товара

Требуется изготовить желобы так, чтобы суммарная площадь поперечного сечения составила $150\sqrt3$ м $^2$ при этом должны выполняться ограничения:

трапециевидных — не менее $1$
полукруглых — не менее $2$
квадратных — не более $12$

Определить минимальную стоимость изготовления всех желобов.

Открытый трапециевидный желоб: лист образует три сплошные стороны. Пунктир обозначает свободный верх, не металл. Другие формы заданы в таблице.

О задаче · 8 класс · 20 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Математика · 8 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 6

Официальные баллы20 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy5/5 · предварительно

Для подготовки: 8 класс.

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюПостроение по шагам

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Какие стороны образует лист

Переключите форму поперечного сечения. Сплошная линия — металл, пунктир — свободный верх. Размеры на иллюстрациях условны, формулы используют ширины из таблицы.

1. Трапеция

Ширина $6$ распределяется на три части: $c+(6-2c)+c$ Высота $h=\frac{c\sqrt3}{2}$

2. Полукруг

Вся ширина равна дуге $\pi R$ Площадь $\frac{\pi R^2}{2}$

3. Квадрат

Верх открыт, поэтому ширина равна $3a$ а площадь — $a^2$

Все состояния доступны и без анимации. Построения сохраняют исходные длины и углы.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Сначала найдите площадь сечения одного желоба каждого типа. Помните, что верх открыт.

Подсказка 2

Составьте уравнение общей площади. Попробуйте с его помощью переписать стоимость так, чтобы напрямую использовать нижнюю границу числа полукруглых и верхнюю границу числа квадратных желобов.

Разобрать решение по шагам

Найдём лучшую форму трапециевидного желоба

Пусть каждая боковая стенка имеет длину $c$ м. На дно остаётся $6-2c$ м, поэтому $0<c<3$ Нижний угол $120^\circ$ оставляет в боковом прямоугольном треугольнике острый угол $60^\circ$ Горизонтальная проекция стенки — $\frac c2$ а высота — $\frac{c\sqrt3}{2}$ Две проекции добавляют к нижнему основанию ещё $c$ значит, верхнее равно $6-c$ Площадь:

\begin{aligned}S_1&=\frac{(6-2c)+(6-c)}2\cdot\frac{c\sqrt3}2\\[3pt]&=\frac{3\sqrt3}{4}c(4-c).\end{aligned}

Для максимума без производных заметим симметрию множителей $c$ и $4-c$ их сумма постоянна. Выделим квадрат:

c(4-c)=4-(c-2)^2\le4.

Равенство достигается при допустимом $c=2$ Поэтому $S_1=3\sqrt3$ м $^2$

Обозначения введены в первом шаге. Верхняя пунктирная сторона не входит в ширину металлического листа.

Вычислим площади двух других сечений

У полукруглого желоба лист образует дугу, а не диаметр:

\pi R=\sqrt{3\pi\sqrt3},\qquad R^2=\frac{3\sqrt3}{\pi}.

Поэтому площадь полуокружности

S_2=\frac{\pi R^2}{2}=\frac{3\sqrt3}{2}\text{ м}^2.

У квадратного желоба верх открыт: лист образует три стороны квадрата. Обозначим сторону через $a$ Тогда

3a=9\sqrt[4]3,\qquad a=3\sqrt[4]3,

S_3=a^2=9\sqrt3\text{ м}^2.

Радиус R не равен ширине листа. Квадратный вариант можно выбрать в схеме ниже.

Переведём площади и ограничения в уравнение

Пусть $t$ $p$ $q$ — количества трапециевидных, полукруглых и квадратных желобов. Это целые числа, причём $t\ge1$ $p\ge2$ $0\le q\le12$ Уравнение площадей после деления на $3\sqrt3/2$ имеет вид

2t+p+6q=100.

Общая стоимость равна $C=3t+2p+6q$

Получим нижнюю границу стоимости

Умножим уравнение площадей на $3/2$ $3t+\frac32p+9q=150$ Вычитая его из выражения стоимости, получаем

C=150+\frac p2-3q.

Так как $p\ge2$ и $q\le12$ то $C\ge150+1-36=115$ Эта оценка верна для любого допустимого целочисленного набора.

Проверим, достигается ли граница

Для равенства нужны $p=2$ и $q=12$ Тогда $2t+2+72=100$ откуда $t=13$ Все ограничения выполнены. Проверка площади:

13\cdot3\sqrt3+2\cdot\frac{3\sqrt3}2+12\cdot9\sqrt3=150\sqrt3.

Стоимость $13\cdot3+2\cdot2+12\cdot6=115$ у.е. Значит, нижняя граница достигается и является минимумом.

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

$115$ у.е.: $13$ трапециевидных, $2$ полукруглых и $12$ квадратных желобов.

Главная идея

Сначала вычислить площади, затем получить достижимую нижнюю границу стоимости из уравнения площади и ограничений.

Как заметить эту идею в другой задаче

В задаче о целочисленной закупке полезно вычесть из стоимости кратное уравнение ресурса: оставшиеся коэффициенты могут сразу показать выгодные крайние значения.

Возможная ошибка

Принять ширину квадратного желоба за периметр из четырёх сторон или найти нижнюю оценку цены, не проверив существование подходящего целого набора.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 7, 8 · задача 6 ↗

Шаг в будущее · 2025/26 · математика · 8 класс · заключительный этап · вариант 1.

Авторский разбор Popov Academy.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Площади →

Тема, знания и приёмы

Площади · Нужна школьная база

Площади прямоугольника и треугольника
основание и высота

Приёмы решения: Оценка и достижимость

Задать вопрос по задаче →