Шаг в будущее 2025/26 · Математика · 8 кл., №2

Условие

Найдите все целые решения уравнения $(y-2)(3x-12)=5x^2-21x+4$

О задаче · 8 класс · 15 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Математика · 8 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 2

Официальные баллы15 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy3/5 · предварительно

Для подготовки: 8 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Разложите $5x^2-21x+4$ на множители. Обратите внимание на $x-4$

Подсказка 2

Получится $(x-4)(3y-5x-5)=0$ Рассмотрите каждый множитель отдельно, не деля на $x-4$

Разобрать решение по шагам

Найдём общий множитель с помощью группировки

Слева $3x-12=3(x-4)$ Это подсказывает искать $x-4$ и справа. Разобьём среднее слагаемое на $-20x-x$ чтобы обе группы содержали эту скобку:

\begin{aligned} 5x^2-21x+4 &=5x^2-20x-x+4\\[0.45em] &=5x(x-4)-(x-4)\\[0.45em] &=(x-4)(5x-1). \end{aligned}

Теперь уравнение имеет вид

3(y-2)(x-4)=(x-4)(5x-1).

Переносим всё влево, пока ничего не сокращая:

\begin{aligned} (x-4)[3(y-2)-(5x-1)]&=0,\\[0.45em] (x-4)(3y-5x-5)&=0. \end{aligned}

Сначала рассмотрим нулевой общий множитель

Если $x-4=0$ то $x=4$ В исходном уравнении слева получается нуль при любом $y$ а справа $80-84+4=0$ Значит,

(x,y)=(4,n),\qquad n\in\mathbb Z.

Эту бесконечную семью мы потеряли бы при делении на $x-4$ без отдельной проверки.

Во втором случае используем целочисленность

Если $x\ne4$ второй множитель обязан быть нулём:

3y=5(x+1).

Левая часть кратна $3$ следовательно, правая тоже. Число $5$ не кратно $3$ поэтому на $3$ должно делиться $x+1$ Можно записать

x+1=3m,\qquad x=3m-1,\qquad y=5m,\qquad m\in\mathbb Z.

Никакой положительности в условии нет: параметр может быть отрицательным и нулём. Эти пары автоматически не имеют $x=4$ потому что равенство $3m-1=4$ потребовало бы нецелого $m=\frac53$

Проверим полноту и запишем все ответы

При $m=0$ во второй семье получается $(-1,0)$ а при $m=-1$ — $(-4,-5)$ отрицательные и нулевые целые значения тоже допустимы. Каждая из найденных семей обращает один из множителей $(x-4)(3y-5x-5)$ в нуль. Других случаев у произведения, равного нулю, нет. Все ответы:

(x,y)=(4,n),\qquad n\in\mathbb Z,

или

(x,y)=(3m-1,5m),\qquad m\in\mathbb Z.

Равносильная запись второй семьи

Можно положить $m=k+1$ Когда $k$ пробегает все целые числа, $m$ тоже пробегает все целые числа. Тогда

x=3(k+1)-1=3k+2,

y=5(k+1)=5k+5.

Так что запись $(3k+2,5k+5)$ задаёт те же пары, что $(3m-1,5m)$

Ответ

$(x,y)=(4,n)$ $n\in\mathbb Z$ или $(x,y)=(3m-1,5m)$ $m\in\mathbb Z$

Главная идея

Общий множитель позволяет разделить уравнение на два случая. Его нулевое значение нужно рассмотреть до любого сокращения; оставшийся случай ограничивается целочисленностью.

Как заметить эту идею в другой задаче

Общий множитель в двух частях уравнения подсказывает разложить разность на произведение и разобрать нулевые множители.

Возможная ошибка

Сократить на $x-4$ и потерять все пары с $x=4$