Шаг в будущее 2025/26 · Математика · 8 кл., №3

Условие

Длины сторон параллелограмма $3$ см и $6$ см. Диагональ параллелограмма делит его угол в отношении $1:3$ Найдите площадь параллелограмма.

Диагональ делит угол A в отношении 1 : 3. Обозначение α и вспомогательные E, H появятся в решении.

О задаче · 8 класс · 15 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Математика · 8 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 3

Официальные баллы15 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy4/5 · предварительно

Для подготовки: 8 класс.

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюПостроение по шагам

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Зачем берём середину стороны

Один и тот же параллелограмм: каждый следующий шаг добавляет нужное построение.

1. Углы в ACD

$\angle CAD=\alpha$ $\angle ACD=3\alpha$ Сначала рассматриваем половину параллелограмма.

2. Добавляем середину E

$AE=ED=CD=3$ Равнобедренный $ECD$ даёт углы $2\alpha$ и равенство $CE=AE$

3. Строим высоту CH

Когда доказано $CE=ED=CD$ треугольник $ECD$ равносторонний. Его высота $CH$ является и высотой параллелограмма.

Все состояния доступны и без анимации. Построения сохраняют исходные длины и углы.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Рассмотрите треугольник, на который диагональ делит параллелограмм. Каким его углам соответствуют части исходного угла?

Подсказка 2

Возьмите середину E стороны длиной 6. Какие три отрезка сразу станут равны 3?

Разобрать решение по шагам

Рассмотрим половину параллелограмма

Обозначим вершины так, что $AD=6$ $CD=3$ а данная диагональ — $AC$ В треугольнике $ACD$ углы при $A$ и $C$ равны двум частям разделённого угла: $AB\parallel CD$ Большей стороне $AD$ противолежит больший угол, поэтому

\angle CAD=\alpha,\qquad\angle ACD=3\alpha.

Следовательно, $\angle ADC=180^\circ-4\alpha$ .

Учебная схема; обозначения согласованы с этим шагом.

Зачем нужна середина длинной стороны

Длина $6$ вдвое больше $3$ середина $E$ стороны $AD$ создаст два отрезка, равных короткой стороне. Тогда

AE=ED=CD=3.

Треугольник $ECD$ равнобедренный. Угол при $D$ равен $180^\circ-4\alpha$ поэтому два других угла равны $2\alpha$ Значит,

\angle ACE=\angle ACD-\angle ECD=3\alpha-2\alpha=\alpha.

Учебная схема; обозначения согласованы с этим шагом.

Получим равносторонний треугольник и высоту

В треугольнике $ACE$ углы при $A$ и $C$ равны. Поэтому $CE=AE=3$ Теперь все три стороны треугольника $ECD$ равны $3$ Опустим высоту $CH$ на $AD$ В равностороннем треугольнике высота делит основание пополам, то есть $EH=HD=\frac32$ По теореме Пифагора

CH=\sqrt{3^2-\left(\frac32\right)^2}=\frac{3\sqrt3}{2}.

Учебная схема; обозначения согласованы с этим шагом.

Вычислим площадь

Высота $CH$ — также высота параллелограмма к основанию $AD$ Поэтому

S=AD\cdot CH=6\cdot\frac{3\sqrt3}{2}=9\sqrt3\text{ см}^2.

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

$9\sqrt3$ см $^2$

Главная идея

Половина длинной стороны равна короткой стороне; дополнительная середина позволяет через углы получить равносторонний треугольник.

Как заметить эту идею в другой задаче

Отношение сторон $2:1$ вместе с отношением углов часто подсказывает провести медиану к длинной стороне.

Возможная ошибка

Без доказательства принять угол параллелограмма за $60^\circ$ или применить отношение $1:3$ не к тем углам треугольника.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 3 · задача 3 ↗

Шаг в будущее · 2025/26 · математика · 8 класс · заключительный этап · вариант 1.

Авторский разбор Popov Academy.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Площади →

Тема, знания и приёмы

Площади · Нужна школьная база

Площади прямоугольника и треугольника
основание и высота

Приёмы решения: Дополнительное построение

Задать вопрос по задаче →