Модуль дроби и отрицательный корень

Упростим дробь и сохраним запрет

Сначала упростим знаменатель и запишем область допустимости:

Следовательно, $x\ne-2$. Теперь раскроем скобки только в числителе:

На допустимой области множитель $x+2$ ненулевой, поэтому

Получили равносильное уравнение $|x-1|=a^2+1$ с сохранённым запретом $x\ne-2$.

Найдём оба возможных корня

Правая часть положительна при любом действительном $a$. Модуль равен этому числу в двух случаях:

Первый корень всегда положителен. Поэтому единственный кандидат на отрицательный корень — $x=-a^2$.

Проверим знак и запрещённую точку

Число $-a^2$ отрицательно ровно при $a\ne0$. Кроме того, оно не должно равняться $-2$, поэтому $a^2\ne2$. Следовательно, подходят все действительные $a$, кроме $0$ и $\pm\sqrt2$. При каждом из них отрицательный корень ровно один; положительный корень не мешает условию о количестве отрицательных решений.