Шаг в будущее 2025/26 · Математика · 8 кл., №1

Условие

В понедельник София и Арсений съели вместе $0{,}5$ кг малины за $9$ минут. Во вторник Рома и Арсений съели вместе такое же количество ягод за $12$ минут, а София и Рома вдвоем в среду – за $18$ минут. За какое время они втроем съедят $1$ кг малины?

О задаче · 8 класс · 15 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Математика · 8 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 1

Официальные баллы15 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy2/5 · предварительно

Для подготовки: 8 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Сравнивать удобно не времена, а количество малины, съеденное за минуту.

Подсказка 2

Сложите скорости трёх пар. Сколько раз в этой сумме встретится скорость каждого участника?

Разобрать решение по шагам

Перейдём от времени к скорости

Скорость здесь — масса ягод, съедаемая за минуту. Например, София и Арсений съели $\frac12$ кг за $9$ минут, значит, их общая скорость равна $\frac{1}{18}$ кг/мин. Обозначим индивидуальные скорости Софии, Арсения и Ромы через $s,a,r$

\begin{aligned}s+a&=\frac{\frac12}{9}=\frac1{18},\\[4pt]r+a&=\frac{\frac12}{12}=\frac1{24},\\[4pt]s+r&=\frac{\frac12}{18}=\frac1{36}.\end{aligned}

Все три правые части измерены в килограммах в минуту.

Сложим три пары

Отдельные скорости искать не нужно: в сумме трёх пар каждый человек встречается дважды.

2(s+a+r)=\frac1{18}+\frac1{24}+\frac1{36}=\frac{4+3+2}{72}=\frac18.

Следовательно, общая скорость троих равна

s+a+r=\frac1{16}\text{ кг/мин}.

Найдём время для килограмма

Время равно массе, делённой на общую скорость:

t=\frac{1\text{ кг}}{\frac1{16}\text{ кг/мин}}=16\text{ мин}.

Ответ

$16$ минут.

Главная идея

Сумма скоростей трёх пар равна удвоенной общей скорости трёх участников.

Как заметить эту идею в другой задаче

Если известны времена совместной работы всех пар из трёх участников, сложите уравнения для производительностей.

Возможная ошибка

Сложить или усреднить времена вместо скоростей, либо забыть, что пары съедают половину килограмма.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 1 · задача 1 ↗

Шаг в будущее · 2025/26 · математика · 8 класс · заключительный этап · вариант 1.

Авторский разбор Popov Academy.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Работа и производительность →

Тема, знания и приёмы

Работа и производительность · Нужна школьная база

Дроби
связь объёма работы, производительности и времени

Приёмы решения: Баланс сохраняемой величины

Задать вопрос по задаче →