Шаг в будущее 2025/26 · Математика · 8 кл., №5

Условие

Диагональ $AC$ прямоугольника $ABCD$ равна $3{,}2$ Из точки $B$ перпендикулярно $AC$ проведена прямая, пересекающая ее в точке $H$ а сторону $AD$ в точке $M$ равноудаленной от точек $B$ и $D$ Прямая проходящая через середину $AC$ и точку $M$ пересекает прямую $AB$ в точке $P$ Найти длины отрезков: $1)$ $AH$ $2)$ $PD$

Точки O и H лежат на AC; O — середина диагонали. P находится на продолжении AB. Засечками показано заданное BM = MD.

О задаче · 8 класс · 20 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Математика · 8 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 5

Официальные баллы20 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy4/5 · предварительно

Для подготовки: 8 класс.

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюПостроение по шагам

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Точка P находится вне прямоугольника

Сравните сначала углы, затем треугольники у прямой MO. Исходные точки не перемещаются.

1. Данные условия

$P$ лежит на прямой $AB$ а не обязательно на стороне. $O$ — середина диагонали $AC$

2. Равные углы

Из $BM=MD$ и $BM\perp AC$ находим $\alpha=30^\circ$

3. Проекция N и подобие

$AM=\frac{AD}{3}$ $MN=\frac{AD}{6}$ Подобие $PAM$ и $ONM$ даёт $PA=2ON=AB$

Все состояния доступны и без анимации. Построения сохраняют исходные длины и углы.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Условие $MB=MD$ даёт равнобедренный треугольник. Выразите его углы через угол между $AC$ и $AD$

Подсказка 2

После нахождения угла определите, какую часть $AD$ составляет $AM$ Сравните треугольники у прямой, проходящей через $M$ и середину $AC$

Разобрать решение по шагам

Найдём угол между диагональю и стороной

Пусть $\angle CAD=\alpha$ В прямоугольнике диагонали образуют с $AD$ одинаковые острые углы, поэтому $\angle BDM=\alpha$ Так как $BM=DM$ в треугольнике $BMD$ также $\angle MBD=\alpha$ а $\angle BMD=180^\circ-2\alpha$ . С другой стороны, из $BM\perp AC$ следует $\angle BMD=90^\circ+\alpha$ . Сопоставим два выражения одного угла:

180^\circ-2\alpha=90^\circ+\alpha,\qquad3\alpha=90^\circ,\qquad\alpha=30^\circ.

Углы, используемые для нахождения α.

Вычислим первую проекцию

В прямоугольном треугольнике $ACD$ катет против угла $30^\circ$ равен половине гипотенузы:

CD=\frac{AC}{2}=1{,}6,\qquad AB=CD=1{,}6.

Угол $BAH=90^\circ-30^\circ=60^\circ$ , а значит, угол $ABH=30^\circ$ В прямоугольном треугольнике $ABH$ снова используем половину гипотенузы:

AH=\frac{AB}{2}=0{,}8.

Установим положение точки P

Пусть $O$ — середина $AC$ а $N$ — проекция $O$ на $AD$ По средней линии треугольника $ACD$ получаем

AN=\frac{AD}{2},\qquad ON=\frac{AB}{2}.

В треугольнике $ABM$ угол $M=60^\circ$ Поэтому $BM=2AM$ и по теореме Пифагора $AB^2=3AM^2$ Аналогично в $ACD$ получаем $AD^2=3AB^2$ Отсюда

AM=\frac{AB}{\sqrt3}=\frac{AD}{3}.

Значит, $M$ лежит между $A$ и $N$ а

MN=AN-AM=\frac{AD}{2}-\frac{AD}{3}=\frac{AD}{6}.

Прямая $MO$ идёт вверх вправо, поэтому при продолжении влево пересекает $AB$ ниже $A$ Прямоугольные треугольники $PAM$ и $ONM$ подобны по углу при $M$ Их соответствующие горизонтальные катеты — $AM$ и $MN$

\frac{PA}{ON}=\frac{AM}{MN}=\frac{AD/3}{AD/6}=2.

Поэтому $PA=2ON=AB$

N — проекция O на AD; PA = AB устанавливается в этом шаге.

Найдём вторую длину

Прямоугольные треугольники $PAD$ и $BAD$ имеют равные катеты $PA=AB$ и общий катет $AD$ Следовательно, $PD=BD=AC=3{,}2$

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

$AH=0{,}8$ $PD=3{,}2$

Главная идея

Равенство двух отрезков определяет угол прямоугольника; затем подобие определяет положение внешней точки.

Как заметить эту идею в другой задаче

Если точка на стороне равноудалена от двух вершин, сначала рассмотрите получившийся равнобедренный треугольник.

Возможная ошибка

Поместить $P$ на отрезок $AB$ хотя условие говорит о прямой: здесь точка находится за $A$

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 6 · задача 5 ↗

Шаг в будущее · 2025/26 · математика · 8 класс · заключительный этап · вариант 1.

Авторский разбор Popov Academy.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Треугольники и углы →

Тема, знания и приёмы

Треугольники и углы · Нужна школьная база

Сумма углов
равенство и подобие треугольников

Приёмы решения: Подобие треугольников

Задать вопрос по задаче →