Задача 5. Цепь с перемычкой

Перемычка склеивает A и B

Сопротивление перемычки пренебрежимо мало, поэтому напряжение на ней равно нулю и потенциалы точек A и B одинаковы. Можно считать A и B одной точкой. Тогда резисторы $2r$ и $4r$ соединяют вход с этой точкой — они включены параллельно. Резисторы $5r$ и $r$ соединяют её с выходом — тоже параллельно. Цепь — это две параллельные пары, включённые последовательно.

Как делится ток

Напряжение на параллельных резисторах одинаково, поэтому токи обратно пропорциональны сопротивлениям. В левой паре ($2r$ и $4r$) токи относятся как $2:1$:

В правой паре ($5r$ и $r$) — как $1:5$:

Ток через перемычку

В точку A приходит ток $\tfrac23 I$ через $2r$, а уходит через $5r$ только $\tfrac16 I$. Остальное уходит через перемычку в B:

Проверка в точке B: приходит $\tfrac13 I + \tfrac12 I = \tfrac56 I$ — ровно столько уходит через $r$. Итак, $I = 2I_1 = 6$ А. Токи: в $2r$ — 4 А, в $4r$ — 2 А, в $5r$ — 1 А, в $r$ — 5 А, в перемычке — 3 А.

Мощность

Сопротивление участка:

Мощность $P = I^2R = 36\cdot\frac{13}{3} = 156$ Вт. Сложим мощности резисторов: $4^2\cdot 4 + 2^2\cdot 8 + 1^2\cdot 10 + 5^2\cdot 2 = 64 + 32 + 10 + 50 = 156$ Вт — то же самое (в перемычке тепло не выделяется).