Физтех 2025/26, Физика 9, финал №2 · вар. 09-01

Условие

На плоском склоне, образующем с горизонтальной плоскостью угол $\alpha = 30^\circ$ бросают мяч вверх по склону. Точка старта находится на поверхности склона. Вектор начальной скорости мяча образует со склоном угол $\beta = 45^\circ$ Через $T = 4$ с мяч падает на склон. Ускорение свободного падения $g = 10$ м/с². Силу сопротивления воздуха считайте пренебрежимо малой.

1. Найдите модуль $V_0$ начальной скорости мяча. 2. На каком расстоянии $S$ от точки старта мяч упал на склон? 3. Найдите наименьший радиус $R$ кривизны траектории мяча.

Рисунок к условию

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Заключительный этап, вариант 09-01
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон: 2025/26

Мяч вернулся на склон, а не на землю. Какое движение отвечает за то, когда он вернётся на склон? В модели подбери скорость так, чтобы полёт длился 4 с, а потом поищи, где траектория изогнута сильнее всего. Ниже можно сверить ответ пункта 1 (округли до десятых).

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеМяч на склоне

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Мяч на склоне

С какой скоростью бросить мяч, чтобы он летел 4 с? Где траектория изогнута сильнее всего?

Если модель не открылась, попробуй так. Нарисуй оси вдоль и поперёк склона и разложи по ним скорость и ускорение g.

Подсказка 1

Возьми оси вдоль склона ( $x$ ) и перпендикулярно ему ( $y$ ). Тогда «высота над склоном» $y$ меняется как при броске вверх, только с ускорением $g\cos\alpha$ и мяч падает на склон, когда $y$ снова равно нулю.

Подсказка 2

$T = \dfrac{2V_0\sin\beta}{g\cos\alpha}$ , а вдоль склона $S = V_0\cos\beta\cdot T - \dfrac{g\sin\alpha\,T^2}{2}$ . Радиус кривизны $R = v^2/a_n$ где $a_n$ — часть $g$ перпендикулярная скорости. Где скорость меньше всего, а $a_n$ больше всего?

Разобрать решение по шагам

Оси вдоль склона и поперёк него

Мяч стартует со склона и на склон же падает, поэтому удобно взять ось $x$ вдоль склона вверх, а ось $y$ — перпендикулярно склону. Разложим всё по этим осям:

v_{0x} = V_0\cos\beta,\quad v_{0y} = V_0\sin\beta;\qquad g_x = -g\sin\alpha,\quad g_y = -g\cos\alpha.

Вдоль каждой оси ускорение постоянно, и движения по осям независимы. Поперёк склона это обычный бросок вверх, только «сила тяжести» слабее: $g\cos\alpha$ вместо $g$

В осях вдоль склона ускорение раскладывается на g·sinα (тормозит вдоль склона) и g·cosα (возвращает мяч на склон).

Время полёта даёт скорость

Мяч снова на склоне, когда $y = 0$

y = V_0\sin\beta\,t - \frac{g\cos\alpha\,t^2}{2} = 0\ \Rightarrow\ T = \frac{2V_0\sin\beta}{g\cos\alpha}.

Отсюда

V_0 = \frac{gT\cos\alpha}{2\sin\beta} = \frac{10\cdot 4\cdot\frac{\sqrt3}{2}}{2\cdot\frac{\sqrt2}{2}} = \frac{20\sqrt3}{\sqrt2} = 10\sqrt6\approx 24{,}5\ \text{м/с}.

Расстояние по склону

Вдоль склона мяч движется с постоянным замедлением $g\sin\alpha$

S = V_0\cos\beta\cdot T - \frac{g\sin\alpha\,T^2}{2} = 10\sqrt6\cdot\frac{\sqrt2}{2}\cdot 4 - \frac{10\cdot\frac12\cdot 16}{2} = 40\sqrt3 - 40.

Итак, $S = 40(\sqrt3 - 1)\approx 29{,}3$ м.

Где траектория изогнута сильнее всего

Радиус кривизны связан с нормальным ускорением: $a_n = v^2/R$ то есть $R = v^2/a_n$ Нормальное ускорение — часть $g$ перпендикулярная скорости. Если скорость наклонена к горизонту под углом $\theta$ то $a_n = g\cos\theta$ а горизонтальная составляющая скорости $v_\text{г} = v\cos\theta$ всё время одна и та же. Поэтому

R = \frac{v^2}{g\cos\theta} = \frac{v^3}{g\,v_\text{г}}.

$R$ тем меньше, чем меньше скорость, а меньше всего она в верхней точке траектории, где скорость горизонтальна. Мяч брошен под углом $\alpha + \beta = 75^\circ$ к горизонту и доходит до верхней точки через $V_0\sin 75^\circ/g\approx 2{,}4$ с — раньше, чем падает на склон (4 с). Значит, наименьший радиус

R = \frac{(V_0\cos 75^\circ)^2}{g} = \frac{600}{10}\cdot\frac{2 - \sqrt3}{4} = 15(2 - \sqrt3)\approx 4{,}0\ \text{м}.

Здесь $\cos^2 75^\circ = \dfrac{1 + \cos 150^\circ}{2} = \dfrac{2 - \sqrt3}{4}$ .

Проверка

Проверим в обычных осях. Горизонтальная скорость $V_0\cos 75^\circ\approx 6{,}34$ м/с, вертикальная $V_0\sin 75^\circ\approx 23{,}66$ м/с. Через 4 с: $x\approx 25{,}36$ м, $y\approx 94{,}64 - 80 = 14{,}64$ м. Отношение $y/x\approx 0{,}577 = \operatorname{tg}30^\circ$ — мяч действительно на склоне, а расстояние до старта $\sqrt{x^2 + y^2}\approx 29{,}3$ м. В верхней точке $R = 6{,}34^2/10\approx 4{,}0$ м.

Ответ

1) $V_0 = \dfrac{gT\cos\alpha}{2\sin\beta} = 10\sqrt6\approx 24{,}5$ м/с; 2) $S = 40(\sqrt3 - 1)\approx 29{,}3$ м; 3) $R = \dfrac{(V_0\cos(\alpha + \beta))^2}{g} = 15(2 - \sqrt3)\approx 4{,}0$ м.

Ответ

1) $V_0 = \dfrac{gT\cos\alpha}{2\sin\beta} = 10\sqrt6\approx 24{,}5$ м/с; 2) $S = 40(\sqrt3 - 1)\approx 29{,}3$ м; 3) $R = \dfrac{(V_0\cos(\alpha + \beta))^2}{g} = 15(2 - \sqrt3)\approx 4{,}0$ м.

Главная идея

Если тело летит над наклонной плоскостью, удобно взять оси вдоль и поперёк неё: поперёк — бросок вверх с ускорением g·cosα, вдоль — движение с замедлением g·sinα. Наименьший радиус кривизны там, где скорость меньше всего, — в верхней точке.

Бросок со склона на склон: время до падения на склон и расстояние «по склону».

Где легко ошибиться

Брать дальность по горизонтали вместо расстояния по склону или искать наименьший радиус кривизны в точке броска. В верхней точке скорость наименьшая, а всё g направлено поперёк скорости.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 9 класс · 2025/26 · заключительный этап, вариант 09-01, задача 2.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Официальные решения (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Страница финала на сайте олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Ответ сверен с официальным решением организатора и совпадает с ним; объяснение и модель написаны заново.

Продолжить тему: Кинематика →

Тема, знания и приёмы

Кинематика · Начальный вход

Движение тела, брошенного под углом к горизонту
Нормальное ускорение и радиус кривизны

Приёмы решения: Координаты и проекции

Задать вопрос по задаче →