Физтех 2025/26, Физика 9, финал №4 · вар. 09-01 — Опыт с теплотой конденсации: решение

Условие

Ученики опытным путем определяют удельную теплоту конденсации воды. Описание эксперимента: в крышку теплоизолированного сосуда впаяна длинная трубка с площадью поперечного сечения $S = 10$ см², закрытая легким поршнем (см. рис.). Сосуд заполнен водой и её насыщенным паром при температуре $t = 100\,^\circ\text{C}$ Внешнее давление равно давлению насыщенного пара в сосуде. Через сосуд проходит змеевик с площадью поперечного сечения $S_1 = 0{,}1$ см², по которому пропускается холодная вода со скоростью $v = 10$ см/с. Температура воды на входе змеевика $t_1 = 10\,^\circ\text{C}$ на выходе $t_2 = 90\,^\circ\text{C}$ Водяные пары конденсируются и поршень в гладкой трубке опускается со скоростью $U = 24$ см/с.

1. Найдите по этим данным удельную теплоту $L$ конденсации воды. Удельная теплоёмкость воды $c = 4200$ Дж/(кг·°C), отношение плотности $\rho$ воды к плотности $\rho_\text{нас}$ насыщенного водяного пара при температуре $t = 100\,^\circ\text{C}$ равно $\dfrac{\rho}{\rho_\text{нас}} = 1600$ .

Рисунок к условию

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Заключительный этап, вариант 09-01
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон: 2025/26

Процесс идёт непрерывно, поэтому удобно считать всё «за одну секунду». Откуда берётся тепло, которое уносит вода в змеевике? И почему опускается поршень? В модели подбери $L$ так, чтобы поршень двигался как в опыте. Ниже можно сверить ответ в МДж/кг (округли до сотых).

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеОпыт с конденсацией

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Опыт с конденсацией

При каком L поршень в модели будет опускаться со скоростью 24 см/с, как в опыте?

Если модель не открылась, попробуй так. Посчитай, сколько тепла уносит вода змеевика за секунду и какой объём освобождает поршень за секунду.

Подсказка 1

За секунду через змеевик проходит вода массой $\rho S_1 v$ и нагревается на $t_2 - t_1$ Всё это тепло отдаёт конденсирующийся пар: $c\rho S_1 v(t_2 - t_1) = mL$ , где $m$ — масса пара, сконденсировавшегося за секунду.

Подсказка 2

Давление в сосуде не меняется, поэтому поршень опускается ровно на столько, на сколько уменьшился объём пара: за секунду $SU = \dfrac{m}{\rho_\text{нас}} - \dfrac{m}{\rho}$ (пар исчез, но появилась вода). Найди отсюда $m$ — и $L$

Разобрать решение по шагам

Сколько тепла уносит змеевик за секунду

Всё происходит непрерывно и с постоянными скоростями, поэтому считаем потоки за одну секунду. Через сечение змеевика за секунду проходит столбик воды длиной $v$ объёмом $S_1v$ и массой

m_\text{в} = \rho S_1 v = 1000\cdot 0{,}1\cdot 10^{-4}\cdot 0{,}1 = 10^{-3}\ \text{кг} = 1\ \text{г}.

Эта вода нагревается от 10 до 90 °C и забирает

Q_1 = c\,m_\text{в}(t_2 - t_1) = 4200\cdot 10^{-3}\cdot 80 = 336\ \text{Дж}.

Это тепло отдаёт пар

Сосуд теплоизолирован, температура и давление пара не меняются, значит, весь приток тепла к воде змеевика — это теплота конденсации. Если за секунду конденсируется пар массой $m$ то

mL = c\rho S_1 v(t_2 - t_1).

Осталось узнать $m$

Почему опускается поршень

Поршень лёгкий, снаружи то же давление, что у насыщенного пара. Значит, давление и плотность оставшегося пара не меняются, а поршень опускается ровно на столько, на сколько уменьшается объём под ним. За секунду он проходит $U$ и «освобождает» объём $SU = 10\cdot 24 = 240$ см³.

Пар массой $m$ занимал объём $m/\rho_\text{нас}$ а превратился в воду объёмом $m/\rho$ Поэтому

SU = \frac{m}{\rho_\text{нас}} - \frac{m}{\rho} = \frac{m}{\rho}\left(\frac{\rho}{\rho_\text{нас}} - 1\right),\qquad m = \frac{\rho SU}{\rho/\rho_\text{нас} - 1} = \frac{1\ \text{г/см}^3\cdot 240\ \text{см}^3}{1599}\approx 0{,}15\ \text{г}.

Удельная теплота

Подставим $m$ — плотность воды сокращается:

L = \frac{c\rho S_1 v(t_2 - t_1)}{m} = \frac{cS_1v(t_2 - t_1)}{SU}\left(\frac{\rho}{\rho_\text{нас}} - 1\right) = \frac{4200\cdot 0{,}1\cdot 10\cdot 80}{10\cdot 24}\cdot 1599\approx 2{,}24\cdot 10^6\ \text{Дж/кг}.

Множитель $\rho/\rho_\text{нас} - 1 = 1599$ почти не отличается от $1600$ объём образовавшейся воды в 1600 раз меньше объёма пара, и им можно пренебречь. С ним $L\approx 2{,}239\cdot 10^6$ Дж/кг, без него ровно $2{,}24\cdot 10^6$ Дж/кг — при точности данных это одно и то же.

Проверка

Проверка по размерности: $\dfrac{c\,[\text{Дж}/(\text{кг}\cdot{}^\circ\text{C})]\cdot S_1v\,[\text{м}^3/\text{с}]\cdot\Delta t\,[{}^\circ\text{C}]}{SU\,[\text{м}^3/\text{с}]}$ — это Дж/кг. Проверка по смыслу: табличное значение удельной теплоты парообразования воды $2{,}26\cdot 10^6$ Дж/кг, ученический опыт дал близкое число. Если бы поршень опускался быстрее при том же нагреве воды, пара конденсировалось бы больше, и $L$ вышло бы меньше — формула это и показывает.

Ответ

L = \dfrac{cS_1v(t_2 - t_1)}{SU}\left(\dfrac{\rho}{\rho_\text{нас}} - 1\right)\approx 2{,}24\cdot 10^6

Дж/кг (если пренебречь объёмом образовавшейся воды, множитель $1600$ вместо $1599$ даёт те же $2{,}24\cdot 10^6$ Дж/кг).

Ответ

L = \dfrac{cS_1v(t_2 - t_1)}{SU}\left(\dfrac{\rho}{\rho_\text{нас}} - 1\right)\approx 2{,}24\cdot 10^6

Дж/кг (если пренебречь объёмом образовавшейся воды, множитель $1600$ вместо $1599$ даёт те же $2{,}24\cdot 10^6$ Дж/кг).

Главная идея

В установившемся процессе считаем потоки за секунду: тепло, унесённое водой змеевика, равно теплоте конденсации, а масса сконденсированного пара видна по уменьшению объёма под поршнем.

Непрерывный процесс с постоянными скоростями: «за 1 с проходит…», «поршень движется со скоростью…».

Где легко ошибиться

Считать, что объём под поршнем уменьшается на объём сконденсированной воды (а не пара), или путать площади сечения трубки и змеевика.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 9 класс · 2025/26 · заключительный этап, вариант 09-01, задача 4.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 2) ↗ · Официальные решения (PDF организатора, стр. 2) ↗ · Страница финала на сайте олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Ответ сверен с официальным решением организатора и совпадает с ним; объяснение и модель написаны заново.

Продолжить тему: Теплообмен и фазовые переходы →

Тема, знания и приёмы

Теплообмен и фазовые переходы · Начальный вход

Уравнение теплового баланса
Удельная теплота парообразования
Плотность и объём

Приёмы решения: Тепловой баланс по состояниям

Задать вопрос по задаче →