Физтех 2025/26, Физика 9, финал №3 · вар. 09-01 — Снаряд разрывается в верхней точке: решение

Условие

Снаряд выпущен под углом $\alpha = 45^\circ$ к горизонту с начальной скоростью $v_0 = 100$ м/с. Масса снаряда $M = 15$ кг. В высшей точке траектории снаряд разрывается на два осколка, которые одновременно падают на земную поверхность. Масса одного осколка в четыре раза больше массы другого. Массивный осколок возвращается к точке старта.

1. Найдите энергию $Q$ выделившуюся при взрыве. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало.

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Заключительный этап, вариант 09-01
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон: 2025/26

Что означает «одновременно падают» для скоростей осколков сразу после взрыва? И что значит «возвращается к точке старта»? В модели задай скорость большого осколка так, чтобы выполнились оба условия.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеРазрыв снаряда

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Разрыв снаряда

Какой должна быть скорость большого осколка, чтобы осколки упали одновременно, а большой вернулся к старту?

Если модель не открылась, попробуй так. Нарисуй траектории осколков после взрыва и сравни времена падения.

Подсказка 1

Осколки падают с одной высоты. Если они приземляются одновременно, их вертикальные скорости сразу после взрыва одинаковы. А суммарный вертикальный импульс в верхней точке был равен нулю.

Подсказка 2

Значит, оба осколка начинают лететь горизонтально, а большой падает столько же, сколько снаряд поднимался. Чтобы вернуться к старту, он должен лететь назад с той же скоростью $v = v_0\cos\alpha$ Скорость малого найди из закона сохранения импульса, а $Q$ — как прирост кинетической энергии.

Разобрать решение по шагам

Верхняя точка

В верхней точке скорость снаряда горизонтальна и равна

v = v_0\cos\alpha = 100\cdot\frac{\sqrt2}{2} = 50\sqrt2\ \text{м/с},\qquad v^2 = 5000\ \text{м}^2/\text{с}^2.

Массы осколков: $m + 4m = 15$ кг, то есть $3$ кг и $12$ кг.

Одновременное падение

Оба осколка начинают падать с одной и той же высоты. Время падения зависит только от вертикальной скорости в начале, поэтому одновременное падение означает, что сразу после взрыва вертикальные скорости одинаковы: $w_1 = w_2 = w$

До взрыва вертикальный импульс был нулевым, и за мгновение взрыва он не меняется (силы взрыва внутренние):

12w + 3w = 0\ \Rightarrow\ w = 0.

Оба осколка вылетают горизонтально.

Большой осколок возвращается

Большой осколок падает без начальной вертикальной скорости — ровно столько же времени, сколько снаряд поднимался. За это время снаряд пролетел по горизонтали путь $v t_\uparrow$ Чтобы вернуться к старту за то же время, осколок должен лететь назад с такой же скоростью: его скорость $-v$

После взрыва оба осколка летят горизонтально: большой — назад по той же дуге, по которой снаряд поднимался, малый — вперёд в 9 раз быстрее.

Скорость малого осколка

Горизонтальный импульс сохраняется:

Mv = 12\cdot(-v) + 3u\ \Rightarrow\ u = \frac{15v + 12v}{3} = 9v.

Малый осколок летит вперёд в 9 раз быстрее, чем снаряд в верхней точке.

Энергия взрыва

Взрыв происходит в одной точке, потенциальная энергия не меняется. Энергия взрыва — прирост кинетической энергии:

Q = \frac{12v^2}{2} + \frac{3\cdot(9v)^2}{2} - \frac{15v^2}{2} = (6 + 121{,}5 - 7{,}5)\,v^2 = 120v^2.

С числами: $Q = 120\cdot 5000 = 6\cdot 10^5$ Дж $= 600$ кДж.

Проверка

Проверим через относительное движение. Скорости осколков после взрыва $-v$ и $9v$ относительная скорость $10v$ Энергия, ушедшая в «разлёт», равна $\dfrac{\mu v_\text{отн}^2}{2}$ , где $\mu = \dfrac{12\cdot 3}{15} = 2{,}4$ кг: $\dfrac{2{,}4\cdot 100\cdot 5000}{2} = 6\cdot 10^5$ Дж — то же самое.

Ответ

$Q = 8M(v_0\cos\alpha)^2 = 6\cdot 10^5$ Дж $= 600$ кДж.

Ответ

$Q = 8M(v_0\cos\alpha)^2 = 6\cdot 10^5$ Дж $= 600$ кДж.

Главная идея

Одновременное падение с одной высоты означает равные вертикальные скорости, а из закона сохранения импульса они нулевые. Возвращение в точку старта задаёт скорость большого осколка, импульс — малого, разность энергий — энергию взрыва.

Разрыв снаряда с условиями «одновременно падают», «возвращается к точке старта», «падает под точкой взрыва».

Где легко ошибиться

Считать, что после взрыва большой осколок просто останавливается, или забыть вычесть начальную кинетическую энергию снаряда.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 9 класс · 2025/26 · заключительный этап, вариант 09-01, задача 3.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Официальные решения (PDF организатора, стр. 2) ↗ · Страница финала на сайте олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Ответ сверен с официальным решением организатора и совпадает с ним; объяснение и модель написаны заново.

Продолжить тему: Энергия и импульс →

Тема, знания и приёмы

Энергия и импульс · Начальный вход

Закон сохранения импульса
Движение тела, брошенного горизонтально

Приёмы решения: Закон сохранения импульса · Закон сохранения энергии

Задать вопрос по задаче →