Физтех 2025/26, Физика 9, финал №1 · вар. 09-01 — Мотоциклист и два отрезка: решение

Условие

Мотоциклист движется равноускоренно по прямой с нулевой начальной скоростью. Два последовательных отрезка пути, длины которых $S_1 = 28$ м и $S_2 = 72$ м, мотоциклист проезжает за промежутки времени $t_1 = 2$ с и $t_2 = 3$ с соответственно.

1. Найдите ускорение $a$ мотоциклиста. 2. На каком расстоянии $S$ от точки старта мотоциклист будет двигаться со скоростью $v = 32$ м/с?

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Заключительный этап, вариант 09-01
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон: 2025/26

Первый отрезок начинается не в точке старта — мотоциклист к этому моменту уже едет. Сколько тогда неизвестных и сколько уравнений даёт условие? В модели подбери ускорение так, чтобы второй отрезок оказался $72$ м. Ниже можно сверить ответ пункта 1.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеМотоциклист на одних часах

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Мотоциклист на одних часах

Подбери ускорение так, чтобы за 3 с после первого отрезка мотоциклист проехал 72 м. Где он разгонится до 32 м/с?

Если модель не открылась, попробуй так. Нарисуй график скорости v = at и отметь на нём оба отрезка как площади под графиком.

Подсказка 1

Обозначь скорость в начале первого отрезка буквой $u$ — её не дали, но она не нулевая. Тогда неизвестных две, $u$ и $a$ а каждый отрезок даёт своё уравнение пути. Какой будет скорость в начале второго отрезка?

Подсказка 2

В начале второго отрезка скорость $u + at_1$ поэтому $28 = 2u + 2a$ и $72 = 3(u + 2a) + 4{,}5a$ Короче: при равноускоренном движении средняя скорость на промежутке равна скорости в его середине. Средние скорости $28/2 = 14$ м/с и $72/3 = 24$ м/с отделены временем $t_1/2 + t_2/2 = 2{,}5$ с. Для пункта 2 помни, что движение началось с нулевой скорости: $v^2 = 2aS$

Разобрать решение по шагам

Две неизвестные — два уравнения

Первый отрезок начинается где-то после старта, поэтому скорость мотоциклиста в его начале — неизвестная $u$ В начале второго отрезка скорость уже $u + at_1$ Запишем пути:

S_1 = ut_1 + \frac{at_1^2}{2},\qquad S_2 = (u + at_1)\,t_2 + \frac{at_2^2}{2}.

С числами: $28 = 2u + 2a$ и $72 = 3(u + 2a) + 4{,}5a = 3u + 10{,}5a$ .

Решаем систему

Из первого уравнения $u = 14 - a$ Подставим во второе:

72 = 3(14 - a) + 10{,}5a = 42 + 7{,}5a,\qquad a = \frac{30}{7{,}5} = 4\ \text{м/с}^2.

Тогда $u = 14 - 4 = 10$ м/с: первый отрезок начался через $u/a = 2{,}5$ с после старта.

Тот же ответ через средние скорости

Скорость растёт равномерно, поэтому средняя скорость на промежутке — это полусумма начальной и конечной, то есть скорость ровно в середине промежутка. На графике $v(t)$ путь — площадь трапеции, а она равна «средней высоте» трапеции, умноженной на время.

Средние скорости: $v_{1} = 28/2 = 14$ м/с в середине первого промежутка и $v_{2} = 72/3 = 24$ м/с в середине второго. Между этими серединами $1 + 1{,}5 = 2{,}5$ с, поэтому

a = \frac{24 - 14}{2{,}5} = 4\ \text{м/с}^2.

Два разных способа дали одно и то же — значит, ускорение найдено верно.

Пути на отрезках — площади трапеций под графиком скорости. Средние скорости 14 и 24 м/с лежат на графике в серединах промежутков.

Где скорость станет 32 м/с

Расстояние $S$ просят считать от точки старта, где скорость была нулевой. Для разгона с нуля

v^2 = 2aS,\qquad S = \frac{v^2}{2a} = \frac{32^2}{2\cdot 4} = \frac{1024}{8} = 128\ \text{м}.

Это произойдёт через $v/a = 8$ с после старта — уже после второго отрезка, который закончился в момент $7{,}5$ с.

Проверка

При $a = 4$ м/с² мотоциклист через $2{,}5$ с после старта находится на $12{,}5$ м, через $4{,}5$ с — на $40{,}5$ м, через $7{,}5$ с — на $112{,}5$ м. Разности: $40{,}5 - 12{,}5 = 28$ м за 2 с и $112{,}5 - 40{,}5 = 72$ м за 3 с — как в условии. Через 8 с скорость $4\cdot 8 = 32$ м/с, а путь $4\cdot 8^2/2 = 128$ м.

Ответ

1) $a = 4$ м/с²; 2) $S = \dfrac{v^2}{2a} = 128$ м.

Ответ

1) $a = 4$ м/с²; 2) $S = \dfrac{v^2}{2a} = 128$ м.

Главная идея

При равноускоренном движении средняя скорость на промежутке равна мгновенной скорости в его середине. Два отрезка дают две точки графика v(t), наклон графика — ускорение.

Даны пути за последовательные промежутки, но скорость в начале отрезка неизвестна — ищи средние скорости и моменты, к которым они относятся.

Где легко ошибиться

Считать, что первый отрезок начинается со старта: из $28 = a\cdot 2^2/2$ выйдет $a = 14$ м/с², и второй отрезок не сойдётся. Вторая ошибка — в пункте 2 отсчитывать $S$ от начала первого отрезка, а не от точки старта.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 9 класс · 2025/26 · заключительный этап, вариант 09-01, задача 1.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Официальные решения (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Страница финала на сайте олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Ответ сверен с официальным решением организатора и совпадает с ним; объяснение и модель написаны заново.

Продолжить тему: Кинематика →

Тема, знания и приёмы

Кинематика · Нужна школьная база

Равноускоренное движение
График скорости и путь как площадь

Приёмы решения: Среднее и взвешенное среднее · Чтение графика и сопоставление состояний

Задать вопрос по задаче →