Задача 5. Полусфера и сфера

Сила на полусферу

Вне сферы её поле такое же, как у точечного заряда $q$ в центре: в каждой точке полусферы $E = \dfrac{kq}{R^2}$, по радиусу наружу. Плотность заряда на полусфере $\sigma = \dfrac{Q}{2\pi R^2}$. Кусочек площади $\Delta A$ отталкивается с силой $\sigma E\,\Delta A$ — как будто на купол изнутри давит давление $p = \sigma E$.

По симметрии поперечные составляющие сил гасят друг друга, остаётся сумма осевых. Осевая часть силы на кусочек равна $p\,\Delta A\cos\theta$, а $\Delta A\cos\theta$ — площадь его тени на плоском основании. Тени всех кусочков покрывают круг $\pi R^2$:

Поле полусферы в её центре

Сила из пункта 1 не зависит от $r$: если сжать сферу в точку, это будет сила, с которой полусфера действует на точечный заряд $q$ в своём центре. Значит, поле полусферы (радиус $R$, заряд $Q$) в её центре

и направлено оно по оси от полусферы — в сторону её открытой части.

Поле в центре на рисунке 2

Оставшаяся половина сферы — полусфера радиуса $r$ с зарядом $q/2$. Её поле в центре по той же формуле $E_q = \dfrac{k\,(q/2)}{2r^2} = \dfrac{kq}{4r^2}$. На рисунке 2 полусферы расположены по разные стороны от общей плоскости, поэтому их поля в центре направлены противоположно:

Поле большой полусферы внутри

Добавим справа вторую полусферу того же радиуса с таким же зарядом. Вместе они образуют равномерно заряженную сферу, внутри которой поля нет: $\vec E_\text{л}(P) + \vec E_\text{п}(P) = 0$ в любой точке $P$ внутри.

Пусть $\vec p$ — радиус-вектор точки $P$ из центра, а точка $-P$ имеет радиус-вектор $-\vec p$. Правая полусфера — образ левой при центральной симметрии относительно центра: кусочек левой с зарядом $\Delta q$ в точке $\vec r$ переходит в такой же кусочек правой в точке $-\vec r$. Кусочек левой создаёт в точке $-P$ поле

а его образ создаёт в точке $P$ поле $k\Delta q\,\dfrac{\vec p + \vec r}{|\vec p + \vec r|^3}$ — тот же вектор с обратным знаком. Складывая по всем кусочкам, получаем $\vec E_\text{п}(P) = -\vec E_\text{л}(-P)$. Отсюда

поле большой полусферы в любой точке внутри такое же, как в симметричной ей точке.

Сила между полусферами

Каждому заряду $\Delta q$ на оставшейся половине малой сферы (в точке $P$) соответствует такой же заряд на удалённой половине (в точке $-P$), и поле большой полусферы на них одинаково. Значит, большая полусфера действует на обе половинки малой сферы с равными силами, а вместе это сила $F_1$ из пункта 1. Каждой половине достаётся половина: