Физтех 2025/26, Физика 10, финал №2 · вар. 10-01 — Тележка на клине: решение

Условие

По шероховатой наклонной плоскости клина, образующей угол $\alpha = 45^\circ$ с горизонтом, скатывается без проскальзывания четырехколесная тележка (см. рис.). Масса тележки (включая массу всех колес) $M = 2$ кг, масса каждого колеса $m = M/10$ однородно распределена по ободу колеса. Клин покоится на горизонтальной плоскости. Масса клина равна массе тележки. Ускорение свободного падения $g = 10$ м/с².

1. Найдите модуль $a$ ускорения тележки. 2. Найдите силу $F_\text{тр}$ трения, действующую на клин со стороны горизонтальной плоскости. 3. При каких величинах коэффициента $\mu$ трения скольжения клина по горизонтальной плоскости клин будет находиться в покое?

Рисунок к условию

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Заключительный этап, вариант 10-01
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон: 2025/26

Если бы тележка соскальзывала без трения, её ускорение было бы $g\sin\alpha$ Будет ли тележка с тяжёлыми колёсами разгоняться так же? Куда уходит часть энергии? В модели измерь путь и время и найди ускорение. Ниже можно сверить ответ пункта 1 (округли до сотых).

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеТележка на клине

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Тележка на клине

С каким ускорением скатывается тележка с колёсами-обручами и какое трение нужно, чтобы клин не сдвинулся?

Если модель не открылась, попробуй так. Посчитай кинетическую энергию тележки с колёсами-обручами и сравни ускорение с g·sin α.

Подсказка 1

Катящееся колесо не только едет, но и вращается. У обруча вся масса на ободе, и относительно центра каждая точка обода движется со скоростью $v$ Поэтому кинетическая энергия колеса равна $\tfrac{mv^2}{2} + \tfrac{mv^2}{2} = mv^2$ .

Подсказка 2

Запиши закон сохранения энергии: $\tfrac{(M + 4m)v^2}{2} = Mgs\sin\alpha$ — отсюда ускорение. Затем рассмотри тележку и клин как одну систему: по горизонтали на неё действует только трение пола, а ускоряется только тележка.

Разобрать решение по шагам

Кинетическая энергия тележки

Пусть скорость тележки $v$ Колёса катятся без проскальзывания, поэтому скорость обода относительно центра колеса тоже $v$ У обруча вся масса $m$ на ободе, и энергия одного колеса

E_\text{кол} = \frac{mv^2}{2} + \frac{mv^2}{2} = mv^2.

Корпус тележки массой $M - 4m$ только едет. Вся кинетическая энергия:

E = \frac{(M - 4m)v^2}{2} + 4mv^2 = \frac{(M + 4m)v^2}{2}.

Катящийся обруч: скорость центра v, верхней точки 2v, нижней 0. Относительно центра каждая точка обода движется со скоростью v, поэтому энергия вращения обруча равна mv²/2.

Ускорение тележки

Клин покоится, а точки касания колёс с гранью не проскальзывают, поэтому сила трения на колёсах работы не совершает. Пройдя по грани путь $s$ тележка теряет потенциальную энергию $Mgs\sin\alpha$

\frac{(M + 4m)v^2}{2} = Mgs\sin\alpha\ \Rightarrow\ v^2 = 2\cdot\frac{Mg\sin\alpha}{M + 4m}\cdot s.

Это равноускоренное движение с ускорением

a = \frac{g\sin\alpha}{1 + 4m/M} = \frac{g\sin\alpha}{1{,}4} = \frac57\cdot 10\cdot\frac{\sqrt2}{2} = \frac{25\sqrt2}{7} \approx 5{,}05\ \text{м/с}^2.

Трение пола

Рассмотрим тележку и клин вместе. Внешние силы по горизонтали — только сила трения пола на клин. Клин покоится; вращение колёс не сдвигает центр масс тележки, поэтому горизонтальное ускорение всей системы определяется только тем, что тележка едет с ускорением $a$ вдоль грани. По второму закону Ньютона:

F_\text{тр} = Ma\cos\alpha = 2\cdot\frac{25\sqrt2}{7}\cdot\frac{\sqrt2}{2} = \frac{50}{7} \approx 7{,}1\ \text{Н}.

Сила трения пола направлена туда же, куда горизонтально едет тележка, — к нижнему краю клина.

Силы на клин. Горизонтальная часть давления колёс больше горизонтальной части их трения, и пол удерживает клин силой трения, направленной вправо.

Когда клин не сдвинется

По вертикали на систему действуют сила тяжести $2Mg$ и реакция пола $N$ а вниз с ускорением $a\sin\alpha$ движется только тележка:

2Mg - N = Ma\sin\alpha\ \Rightarrow\ N = 2Mg - Ma\sin\alpha = 40 - \frac{50}{7} = \frac{230}{7}\ \text{Н}.

Клин стоит, если сила трения покоя не превышает $\mu N$

\mu \ge \frac{F_\text{тр}}{N} = \frac{a\cos\alpha}{2g - a\sin\alpha} = \frac{50}{230} = \frac{5}{23} \approx 0{,}22.

При меньшем $\mu$ клин не устоит: он поедет влево, от тележки, пол будет давать только $\mu N$ а тележка покатится по клину с другим ускорением. Ответы пунктов 1 и 2 выведены для неподвижного клина и к этому случаю не относятся.

Проверка

Проверим через силы. На колесо-обруч со стороны грани действует сила трения $f$ вращающая его: $fr = mr^2\cdot\tfrac{a}{r}$ , то есть $f = ma$ Для тележки вдоль грани: $Mg\sin\alpha - 4ma = Ma$ — то же ускорение. Клин давят колёса с силой $N_\text{т} = Mg\cos\alpha$ и тянут вниз по грани силой $4f$ Горизонтально: $N_\text{т}\sin\alpha - 4f\cos\alpha = Mg\sin\alpha\cos\alpha - 4ma\cos\alpha = Ma\cos\alpha$ — совпадает с $F_\text{тр}$ Без массивных колёс было бы $a = g\sin\alpha \approx 7{,}07$ м/с².

Ответ

1) $a = \dfrac{g\sin\alpha}{1 + 4m/M} = \dfrac{25\sqrt2}{7} \approx 5{,}05$ м/с² $\approx 5$ м/с²; 2) $F_\text{тр} = Ma\cos\alpha = \dfrac{50}{7} \approx 7{,}1$ Н; 3) $\mu \ge \dfrac{a\cos\alpha}{2g - a\sin\alpha} = \dfrac{5}{23} \approx 0{,}22$ .

Ответ

Главная идея

Энергия катящейся тележки делится между движением и вращением колёс, поэтому она разгоняется медленнее, чем соскальзывающее тело. Силы, действующие на клин со стороны пола, проще найти для системы «тележка + клин»: внешние силы задают ускорение центра масс.

Тело катится по клину, клин неподвижен; спрашивают о трении или реакции опоры под клином.

Где легко ошибиться

Забыть энергию вращения колёс и получить $a = g\sin\alpha$ считать, что сила трения на колёсах совершает работу; искать силы на клин по отдельности и потерять трение колёс.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 10 класс · 2025/26 · заключительный этап, вариант 10-01, задача 2.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Официальные решения (PDF организатора, стр. 2) ↗ · Страница финала на сайте олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Ответ сверен с официальным решением организатора и совпадает с ним; объяснение и модель написаны заново.

Продолжить тему: Силы и ускорение →

Тема, знания и приёмы

Силы и ускорение · Начальный вход

Второй закон Ньютона для системы тел
Кинетическая энергия катящегося тела
Сила трения покоя

Приёмы решения: Уравнение сил · Закон сохранения энергии

Задать вопрос по задаче →