Физтех 2025/26, Физика 10, финал №3 · вар. 10-01 — Поршень, газ и пружина: решение

Условие

Теплоизолированный цилиндр лежит на гладкой горизонтальной плоскости. В цилиндре с одной стороны от закрепленного теплоизолированного поршня находится один моль одноатомного идеального газа при температуре $T_0 = 350$ K, с другой стороны – вакуум (см. рис.). Пружина не деформирована. Поршень освобождают, после установления равновесия объем газа больше начального в $n = 2$ раза.

1. Найдите температуру $T_1$ газа в конечном состоянии. Теплоемкости цилиндра и поршня считайте пренебрежимо малыми. Поршень свободно скользит в цилиндре. 2. Найдите перемещение $S$ цилиндра в рассматриваемом процессе, если в начальном состоянии поршень находился на расстоянии $d = 10$ см от левого по рисунку основания цилиндра. Масса поршня равна массе цилиндра. Массы газа и пружины малы по сравнению с массами цилиндра и поршня.

Рисунок к условию

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Заключительный этап, вариант 10-01
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон: 2025/26

Газ расширяется, толкая поршень и сжимая пружину. Нагреется он или остынет? Можно ли здесь пользоваться уравнением адиабаты? И куда поедет цилиндр, если пол гладкий? В модели посмотри, как устанавливается равновесие. Ниже можно сверить ответ пункта 1.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеОсвобождённый поршень

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Освобождённый поршень

Как устанавливается равновесие и куда девается энергия газа? Куда и на сколько сдвинется цилиндр?

Если модель не открылась, попробуй так. Запиши закон сохранения энергии для начального и конечного состояний и условие неподвижности центра масс.

Подсказка 1

Поршень сначала колеблется, и равновесие устанавливается не сразу, поэтому уравнение адиабаты здесь не годится. Зато вся система теплоизолирована и внешние силы работы не совершают: сохраняется полная энергия. В конце всё покоится, и энергия газа делится между газом и пружиной.

Подсказка 2

В равновесии $pS = kx$ где $x$ — сжатие пружины, а $Sx = (n - 1)V_0$ Тогда энергия пружины $\tfrac{kx^2}{2} = \tfrac{pSx}{2} = \tfrac{p(n - 1)V_0}{2}$ . Для перемещения цилиндра вспомни, что на систему «цилиндр + поршень» по горизонтали внешние силы не действуют.

Разобрать решение по шагам

Что сохраняется

Цилиндр и поршень теплоизолированы, теплоёмкости у них нет, пол гладкий — энергия ни из системы не уходит, ни в неё не приходит. Колебания поршня затухают из-за процессов в газе, и их энергия снова становится теплом газа. В конце поршень покоится относительно цилиндра, а суммарный импульс системы равен нулю — значит, покоятся оба. Энергия газа в начале равна энергии газа и пружины в конце:

\frac32 RT_0 = \frac32 RT_1 + \frac{kx^2}{2}.

Уравнение адиабаты применять нельзя: процесс не равновесный.

Энергия пружины

В равновесии давление газа уравновешивает силу пружины: $pS = kx$ Объём газа вырос в $n$ раз, поэтому поршень сдвинулся относительно цилиндра на $x$ где $Sx = (n - 1)V_0$ а давление газа $p = \dfrac{RT_1}{nV_0}$ Энергия пружины

\frac{kx^2}{2} = \frac{pS\cdot x}{2} = \frac{p(n - 1)V_0}{2} = \frac{(n - 1)RT_1}{2n}.

Температура газа

Подставим в закон сохранения энергии:

\frac32 RT_0 = \frac32 RT_1 + \frac{(n - 1)RT_1}{2n}\ \Rightarrow\ 3nT_0 = T_1\,(3n + n - 1)\ \Rightarrow\ T_1 = \frac{3n}{4n - 1}\,T_0.

При $n = 2$ $T_1 = \dfrac67\cdot 350 = 300$ K.

Перемещение цилиндра

По горизонтали на систему «цилиндр + поршень» внешние силы не действуют (пол гладкий), а массы газа и пружины малы. Значит, центр масс цилиндра и поршня не сдвигается.

Поршень был на расстоянии $d$ от левого основания, а в конце — на расстоянии $nd$ относительно цилиндра он сдвинулся на $(n - 1)d = 10$ см вправо. Пусть цилиндр сдвинулся на $\Delta x_\text{ц}$ поршень — на $\Delta x_\text{п} = \Delta x_\text{ц} + (n - 1)d$ . Массы равны, поэтому

\Delta x_\text{ц} + \Delta x_\text{п} = 0\ \Rightarrow\ \Delta x_\text{ц} = -\frac{(n - 1)d}{2} = -5\ \text{см}.

Цилиндр сдвинется на $S = 5$ см влево — в сторону, где был газ, а поршень на 5 см вправо.

До и после: поршень ушёл относительно цилиндра на 10 см, но центр масс системы стоит, поэтому цилиндр сдвинулся на 5 см в другую сторону.

Проверка

Проверим энергию: внутренняя энергия газа уменьшилась на $\tfrac32 R\cdot 50 = 75R$ а в пружине запасено $\tfrac{(n - 1)RT_1}{2n} = \tfrac{300R}{4} = 75R$ — сходится. Если бы по ошибке применили адиабату, получили бы $T = 350\cdot 2^{-2/3} \approx 220$ K: так газ остыл бы при медленном расширении, а здесь энергия колебаний возвращается в газ. Пошаговый расчёт движения поршня с затуханием (в проверочном файле) приходит к тем же 300 K и 5 см.

Ответ

1) $T_1 = \dfrac{3n}{4n - 1}\,T_0 = 300$ K; 2) $S = \dfrac{(n - 1)d}{2} = 5$ см (цилиндр сдвинется в сторону газа).

Ответ

1) $T_1 = \dfrac{3n}{4n - 1}\,T_0 = 300$ K; 2) $S = \dfrac{(n - 1)d}{2} = 5$ см (цилиндр сдвинется в сторону газа).

Главная идея

В неравновесном процессе в теплоизолированной системе работают законы сохранения: полная энергия задаёт конечную температуру, а неподвижный центр масс — перемещение цилиндра.

Поршень «освобождают», равновесие «устанавливается»; система теплоизолирована, пол гладкий.

Где легко ошибиться

Применить уравнение адиабаты к резкому процессу; забыть, что цилиндр тоже движется; считать перемещением цилиндра весь сдвиг поршня (10 см).

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 10 класс · 2025/26 · заключительный этап, вариант 10-01, задача 3.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Официальные решения (PDF организатора, стр. 2) ↗ · Страница финала на сайте олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Ответ сверен с официальным решением организатора и совпадает с ним; объяснение и модель написаны заново.

Продолжить тему: Газы и термодинамика →

Тема, знания и приёмы

Газы и термодинамика · Начальный вход

Внутренняя энергия одноатомного газа
Энергия пружины
Центр масс системы тел

Приёмы решения: Закон сохранения энергии · Закон сохранения импульса

Задать вопрос по задаче →