Физтех 2025/26, Физика 10, финал №1 · вар. 10-01 — Два осколка фейерверка: решение

Условие

На высоте $H = 3{,}75$ м над горизонтальной площадкой фейерверк разрывается на множество осколков, два из которых движутся в одной вертикальной плоскости с одинаковой по модулю начальной скоростью $V_0 = 11$ м/с. Вектор скорости первого осколка образует угол $\alpha$ с горизонтом, вектор скорости второго осколка образует угол $\alpha$ с вертикалью (см. рис.). За мгновение до падения первого осколка на горизонтальную площадку скорости осколков параллельны.

1. Под каким углом $\varphi$ к вертикали в этот момент движутся осколки? Ускорение свободного падения $g = 10$ м/с². Сопротивление воздуха считайте пренебрежимо малым. 2. Найдите скорость $V_1$ первого осколка перед падением на площадку. 3. Найдите $\cos\alpha$ 4. Найдите наибольшее расстояние $d$ между осколками в процессе полета осколков.

Рисунок к условию

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Заключительный этап, вариант 10-01
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон: 2025/26

На оба осколка действует одно и то же ускорение $g$ Что тогда не меняется со временем, если сравнивать их скорости? В модели подбери угол $\alpha$ при котором скорости станут параллельными как раз перед падением первого осколка. Ниже можно сверить ответ пункта 1 — угол $\varphi$ в градусах.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеДва осколка на одних часах

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Два осколка на одних часах

При каком угле α скорости осколков станут параллельными перед падением первого? Куда они тогда направлены?

Если модель не открылась, попробуй так. Нарисуй векторы начальных скоростей из одной точки и сдвинь их концы вниз на gt: что происходит с отрезком между концами?

Подсказка 1

Скорости меняются одинаково: $\vec v_1 = \vec u_1 + \vec g t$ , $\vec v_2 = \vec u_2 + \vec g t$ . Значит, разность $\vec v_1 - \vec v_2 = \vec u_1 - \vec u_2$ всё время одна и та же. Найди её направление.

Подсказка 2

Если два вектора параллельны, то и их разность параллельна им. Поэтому в нужный момент обе скорости направлены вдоль $\vec u_1 - \vec u_2$ Скорость $V_1$ найди из закона сохранения энергии, а $\cos\alpha$ — из того, что горизонтальная проекция скорости первого осколка не меняется.

Разобрать решение по шагам

Разность скоростей постоянна

Направим ось $x$ горизонтально в сторону полёта, ось $y$ — вверх. Начальные скорости:

\vec u_1 = V_0(\cos\alpha;\ \sin\alpha),\qquad \vec u_2 = V_0(\sin\alpha;\ \cos\alpha).

На оба осколка действует только сила тяжести, поэтому $\vec v_1 = \vec u_1 + \vec g t$ и $\vec v_2 = \vec u_2 + \vec g t$ . Разность скоростей от времени не зависит:

\vec v_1 - \vec v_2 = \vec u_1 - \vec u_2 = V_0(\cos\alpha - \sin\alpha)\,(1;\ -1).

Так как первый осколок падает раньше, $\alpha < 45^\circ$ и $\cos\alpha > \sin\alpha$ разность направлена вперёд и вниз, под углом $45^\circ$ к вертикали.

Когда скорости параллельны

Если $\vec v_1 \parallel \vec v_2$ , то и разность $\vec v_1 - \vec v_2$ лежит на той же прямой. Значит, в этот момент обе скорости направлены вдоль $(1;\ -1)$ вперёд и вниз под углом

\varphi = 45^\circ

к вертикали. (Вверх-назад скорость первого осколка смотреть не может: её горизонтальная проекция $V_0\cos\alpha$ всё время положительна.)

Векторы скоростей, отложенные из одной точки. Концы обоих векторов опускаются на одну и ту же величину gT, поэтому зелёный отрезок между ними не меняется. Скорости параллельны, когда этот отрезок лежит на одной прямой с началом векторов.

Скорость первого осколка

По закону сохранения энергии для первого осколка от точки разрыва до площадки:

\frac{V_1^2}{2} = \frac{V_0^2}{2} + gH\ \Rightarrow\ V_1 = \sqrt{V_0^2 + 2gH} = \sqrt{121 + 75} = 14\ \text{м/с}.

Угол α

Горизонтальная проекция скорости первого осколка не меняется. В момент падения скорость направлена под $45^\circ$ к вертикали, поэтому её горизонтальная проекция равна $V_1\sin 45^\circ$

V_0\cos\alpha = \frac{V_1}{\sqrt2}\ \Rightarrow\ \cos\alpha = \frac{14}{11\sqrt2} = \frac{7\sqrt2}{11} \approx 0{,}90.

Отсюда $\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = \dfrac{196}{121} - 1 = \dfrac{75}{121}$ , а $\alpha \approx 25{,}8^\circ$ — действительно меньше $45^\circ$

Наибольшее расстояние

Оба осколка стартуют из одной точки, а их относительная скорость постоянна. Значит, второй осколок относительно первого движется равномерно по прямой, и расстояние растёт пропорционально времени:

d(t) = |\vec u_1 - \vec u_2|\,t = \sqrt2\,V_0(\cos\alpha - \sin\alpha)\,t.

Пока летят оба, наибольшее расстояние — в момент $T$ падения первого осколка. Вертикальная проекция его скорости в этот момент равна $-V_0\cos\alpha$ (горизонтальная и вертикальная проекции равны по модулю), поэтому $V_0\sin\alpha - gT = -V_0\cos\alpha$ и $T = \dfrac{V_0(\sin\alpha + \cos\alpha)}{g}$ . Тогда

d = \frac{\sqrt2\,V_0^2(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)}{g} = \frac{\sqrt2\,V_0^2\cos 2\alpha}{g} = \frac{\sqrt2\cdot 121\cdot 75}{121\cdot 10} = 7{,}5\sqrt2 \approx 10{,}6\ \text{м}.

Заметим, что $V_0^2\cos2\alpha = 2gH$ так что $d = 2\sqrt2\,H$

Положения осколков через равные промежутки времени: отрезки между ними параллельны и растут равномерно. Самый длинный — в момент падения первого осколка.

Проверка

Проверим через время полёта. $\sin\alpha = \sqrt{1 - 98/121} = \sqrt{23}/11$ , $T = (\sqrt{23} + 7\sqrt2)/10 \approx 1{,}469$ с. Высота первого осколка в этот момент $3{,}75 + \sqrt{23}\cdot T - 5T^2 \approx 0$ , а скорости: первого $(9{,}90;\ -9{,}90)$ второго $(4{,}80;\ -4{,}80)$ м/с — действительно параллельны. Расстояние после падения первого осколка уже не растёт: второй продолжает лететь к нему вперёд и вниз, расстояние только уменьшается. Случай $\alpha = 45^\circ$ не подходит: тогда осколки летели бы вместе одинаково.

Ответ

1) $\varphi = 45^\circ$ 2) $V_1 = \sqrt{V_0^2 + 2gH} = 14$ м/с; 3) $\cos\alpha = \dfrac{V_1}{\sqrt2\,V_0} = \dfrac{7\sqrt2}{11} \approx 0{,}9$ ; 4) $d = 2\sqrt2\,H = 7{,}5\sqrt2 \approx 10{,}6$ м.

Ответ

1) $\varphi = 45^\circ$ 2) $V_1 = \sqrt{V_0^2 + 2gH} = 14$ м/с; 3) $\cos\alpha = \dfrac{V_1}{\sqrt2\,V_0} = \dfrac{7\sqrt2}{11} \approx 0{,}9$ ; 4) $d = 2\sqrt2\,H = 7{,}5\sqrt2 \approx 10{,}6$ м.

Главная идея

Тела в поле тяжести движутся друг относительно друга равномерно: разность их скоростей не меняется. Поэтому параллельными скорости могут стать только вдоль этой разности, а расстояние между телами растёт линейно.

Несколько тел брошены одновременно из одной точки, а спрашивают про угол между их скоростями или расстояние между ними.

Где легко ошибиться

Искать момент параллельности, приравнивая углы скоростей через громоздкие формулы, вместо того чтобы заметить постоянную разность скоростей; считать, что расстояние наибольшее в верхней точке траектории.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 10 класс · 2025/26 · заключительный этап, вариант 10-01, задача 1.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Официальные решения (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Страница финала на сайте олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Ответ сверен с официальным решением организатора и совпадает с ним; объяснение и модель написаны заново.

Продолжить тему: Кинематика →

Тема, знания и приёмы

Кинематика · Начальный вход

Движение тела, брошенного под углом к горизонту
Сложение и вычитание векторов
Закон сохранения энергии

Приёмы решения: Относительное движение · Закон сохранения энергии

Задать вопрос по задаче →