Физтех 2025/26, Физика 10, финал №4 · вар. 10-01 — Влажный воздух под поршнем: решение

Условие

В цилиндре под поршнем при температуре $12^\circ$ C находятся в равновесном состоянии: воздух, водяной пар и вода. Давление насыщенных паров воды при этой температуре $P_\text{Н} = 1400$ Па. Число моль воздуха равно числу моль пара, масса воды в три раза больше массы пара. Объём смеси медленно изотермически увеличивают до тех пор, пока относительная влажность воздуха в цилиндре уменьшится до 40%.

1. Определите давление $P$ влажного воздуха в цилиндре в конечном состоянии. Объем воды в начальном состоянии считайте пренебрежимо малым.

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Заключительный этап, вариант 10-01
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон: 2025/26

Пока в цилиндре есть вода, каким будет пар — насыщенным или нет? Когда испарится последняя капля? В модели медленно увеличивай объём и следи за давлениями. Ниже можно сверить ответ.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеРасширение влажного воздуха

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Расширение влажного воздуха

При каком объёме влажность станет 40 % и каким будет давление в цилиндре?

Если модель не открылась, попробуй так. Построй график давления пара от объёма: до испарения последней капли и после.

Подсказка 1

Рядом с водой пар остаётся насыщенным: при расширении часть воды испаряется, и давление пара не меняется. Воздуха и пара сначала поровну, поэтому и давление воздуха в начале равно $P_\text{Н}$

Подсказка 2

Вода втрое тяжелее пара, то есть воды втрое больше молей. Вся она испарится, когда объём вырастет в 4 раза. Дальше пар ведёт себя как обычный газ: $p \propto 1/V$ Найди объём, при котором влажность $40\%$ и сложи давления пара и воздуха.

Разобрать решение по шагам

Начальное состояние

Пар над водой насыщенный, его давление $P_\text{Н} = 1400$ Па. Пусть пара $\nu$ молей. Воздуха столько же молей, он занимает тот же объём $V_0$ при той же температуре — значит, его давление тоже $P_\text{Н}$ Масса воды втрое больше массы пара, поэтому воды $3\nu$ молей. Её объём ничтожен, так что газ занимает весь объём $V_0$

Пока есть вода

При медленном изотермическом расширении вода испаряется, и пар остаётся насыщенным: его давление по-прежнему $P_\text{Н}$ а число молей пара растёт пропорционально объёму: $\nu_\text{п} = \nu\cdot V/V_0$ . Вся вода ( $\nu + 3\nu = 4\nu$ молей пара) испарится при

V = 4V_0.

До этого момента влажность равна $100\%$

Когда вода испарилась

Дальше в цилиндре $4\nu$ молей пара, и его давление падает по закону Бойля — Мариотта: $p_\text{п} = P_\text{Н}\cdot\dfrac{4V_0}{V}$ . Относительная влажность

\varphi = \frac{p_\text{п}}{P_\text{Н}} = \frac{4V_0}{V} = 0{,}4\ \Rightarrow\ V = 10V_0.

Давления в цилиндре при медленном расширении. Пока есть вода, давление пара не меняется; после её испарения при 4V₀ пар становится ненасыщенным, и влажность падает.

Давление в конце

Давление пара $p_\text{п} = 0{,}4\cdot 1400 = 560$ Па. Давление воздуха уменьшилось в 10 раз: $p_\text{в} = 1400/10 = 140$ Па. По закону Дальтона

P = p_\text{п} + p_\text{в} = 560 + 140 = 700\ \text{Па}.

Проверка

Проверим иначе. При $V = 4V_0$ пар ещё насыщенный, а давление воздуха $1400/4 = 350$ Па, всего $1750$ Па. После этого вся смесь подчиняется закону Бойля — Мариотта, и при $V = 10V_0$ давление станет $1750\cdot\dfrac{4}{10} = 700$ Па — то же самое. Температура $12^\circ$ C нужна только для значения $P_\text{Н}$

Ответ

$P = \dfrac{P_\text{Н}}{10} + 0{,}4\,P_\text{Н} = 0{,}5\,P_\text{Н} = 700$ Па (конечный объём в 10 раз больше начального).

Ответ

$P = \dfrac{P_\text{Н}}{10} + 0{,}4\,P_\text{Н} = 0{,}5\,P_\text{Н} = 700$ Па (конечный объём в 10 раз больше начального).

Главная идея

Пока рядом есть жидкость, пар насыщенный и его давление не зависит от объёма. После испарения последней капли пар ведёт себя как идеальный газ.

Под поршнем воздух, пар и вода; объём медленно меняют при постоянной температуре; спрашивают о влажности или давлении.

Где легко ошибиться

Считать, что давление пара сразу падает обратно пропорционально объёму, хотя вода ещё испаряется; забыть давление воздуха; считать воздух сухим с давлением, не равным $P_\text{Н}$

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 10 класс · 2025/26 · заключительный этап, вариант 10-01, задача 4.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 2) ↗ · Официальные решения (PDF организатора, стр. 2) ↗ · Страница финала на сайте олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Ответ сверен с официальным решением организатора и совпадает с ним; объяснение и модель написаны заново.

Продолжить тему: Газы и термодинамика →

Тема, знания и приёмы

Газы и термодинамика · Нужна школьная база

Насыщенный пар
Относительная влажность
Закон Бойля — Мариотта и закон Дальтона

Приёмы решения: Инвариант или монотонная величина

Задать вопрос по задаче →