Физика · 9 класс · Физтех 2024/25 · заключительный этап

Задача 5. Лёд и вода: кто кого — и сколько замёрзло

Условие

В калориметр, содержащий воду при температуре t1=10 ∘t_1 = 10\ {}^\circС, помещают лёд. Масса льда равна массе воды. После установления теплового равновесия отношение массы льда к массе воды n=9/7n = 9/7.

1. Найдите долю δ\delta массы воды, превратившейся в лёд. 2. Найдите начальную температуру t2t_2 льда.

В теплообмене участвуют только лёд и вода. Удельная теплоёмкость льда cЛ=2,1⋅103c_Л = 2{,}1\cdot 10^3 Дж/(кг·°С), удельная теплоёмкость воды cВ=4,2⋅103c_В = 4{,}2\cdot 10^3 Дж/(кг·°С), удельная теплота плавления льда λ=3,36⋅105\lambda = 3{,}36\cdot 10^5 Дж/кг, температура плавления льда t0=0 ∘t_0 = 0\ {}^\circС.

О задаче · 9 класс
Олимпиада
Физтех (МФТИ)
Этап
Заключительный этап, вариант 09-01
Предмет / класс
Физика · 9 класс
Сезон
2024/25

Льда стало больше, чем воды — значит, часть воды замёрзла, а конечная температура 0 ∘0\ {}^\circС. Запиши ответы; ниже проверяется доля δ\delta (число от 0 до 1).

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеКалориметр

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Калориметр

При какой температуре льда замерзает ровно восьмая часть воды — и что будет при других температурах?

Если модель не открылась, попробуй так. Возьми по 1 кг: сколько тепла отдаёт вода, остывая до нуля? Сколько нужно льду при −40 °С, чтобы нагреться до нуля? Разницу покрывает замерзание.

Подсказка 1

Пусть масса каждого была mm. Если замёрзла доля δ\delta воды, то льда стало (1+δ)m(1 + \delta)m, воды (1−δ)m(1 - \delta)m. Составь отношение и реши относительно δ\delta.

Подсказка 2

Уравнение теплового баланса при конечной температуре 0 ∘0\ {}^\circС: вода отдаёт cВmt1c_В m t_1 при остывании и λδm\lambda\delta m при замерзании; лёд получает cЛm∣t2∣c_Л m |t_2| при нагревании до нуля. Масса mm сокращается.

Разобрать решение по шагам
1

Что произошло

Отношение масс изменилось с 1:11 : 1 на 9:79 : 7 в пользу льда — часть воды замёрзла. Замерзание идёт при 0 ∘0\ {}^\circС, и раз в конце есть и лёд, и вода, конечная температура равна t0=0 ∘t_0 = 0\ {}^\circС.

2

Доля замёрзшей воды

Пусть mm — начальная масса воды (и льда), δm\delta m — масса замёрзшей воды. Тогда

(1+δ)m(1−δ)m=n  ⟹  δ=n−1n+1=2/716/7=18=0,125.\frac{(1 + \delta)m}{(1 - \delta)m} = n \;\Longrightarrow\; \delta = \frac{n - 1}{n + 1} = \frac{2/7}{16/7} = \frac{1}{8} = 0{,}125.
3

Тепловой баланс

Вода остывает от t1t_1 до 00 и частично замерзает; лёд нагревается от t2t_2 до 00:

cВmt1+λδm=cЛm(0−t2).c_В m t_1 + \lambda\delta m = c_Л m (0 - t_2).
t2=−cВt1+λδcЛ=−4200⋅10+336000/82100=−42000+420002100=−40 ∘С.t_2 = -\frac{c_В t_1 + \lambda\delta}{c_Л} = -\frac{4200 \cdot 10 + 336000/8}{2100} = -\frac{42000 + 42000}{2100} = -40\ {}^\circ\text{С}.
4

Проверка

На 11 кг каждого: вода отдала 4242 кДж остыванием и 4242 кДж замерзанием 0,1250{,}125 кг; лёд при −40 ∘-40\ {}^\circС принял 2100⋅40=842100 \cdot 40 = 84 кДж, нагревшись до нуля. Баланс сходится, конечное состояние — 1,1251{,}125 кг льда и 0,8750{,}875 кг воды при 0 ∘0\ {}^\circС, отношение 9:79 : 7.

Проверка

Правила модели для 11 кг воды при 10 ∘10\ {}^\circС и 11 кг льда при произвольной температуре t2t_2 находят конечное состояние (сначала сравнивают «запас» воды cВt1c_В t_1 с «потребностью» льда cЛ∣t2∣c_Л|t_2|, затем расход на плавление или замерзание): при t2=−40 ∘t_2 = -40\ {}^\circС замерзает ровно 0,1250{,}125 кг и отношение масс равно 9/79/7; при −10 ∘-10\ {}^\circС лёд частично тает, при −20 ∘-20\ {}^\circС массы не меняются, при −250 ∘-250\ {}^\circС вся вода замерзает и конечная температура ниже нуля.

Ответ

1) δ=n−1n+1=18=0,125\delta = \dfrac{n - 1}{n + 1} = \dfrac{1}{8} = 0{,}125; 2) t2=−cВt1+λδcЛ=−40 ∘t_2 = -\dfrac{c_В t_1 + \lambda\delta}{c_Л} = -40\ {}^\circС.

Ответ

1) δ=n−1n+1=18=0,125\delta = \dfrac{n - 1}{n + 1} = \dfrac{1}{8} = 0{,}125; 2) t2=−cВt1+λδcЛ=−40 ∘t_2 = -\dfrac{c_В t_1 + \lambda\delta}{c_Л} = -40\ {}^\circС.

Главная идея

Льда стало больше — вода замёрзла при 0 °С; δ из отношения масс (1 + δ)/(1 − δ) = n, затем баланс: c_В t₁ + λδ = c_Л |t₂|.

Конечное отношение масс льда и воды — сразу говорит, кто превращался и что конечная температура 0 °С; доля находится без теплоты.

Где легко ошибиться

Решать, что лёд тает (отношение-то в пользу льда); забыть теплоту замерзания или взять её со знаком «минус»; подставить δ как 1/9.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 9 класс · 2024/25 · заключительный этап, вариант 09-01, задача 5.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 2) ↗ · Официальные решения (PDF организатора, стр. 2) ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с решениями организатора. Ответ сверен с официальным решением организатора и совпадает с ним; объяснение и модель написаны заново.

Продолжить тему: Теплообмен и фазовые переходы →
Тема, знания и приёмы

Теплообмен и фазовые переходы · Нужна школьная база

  • Уравнение теплового баланса
  • Теплота плавления и кристаллизации
  • Доля массы

Приёмы решения: Тепловой баланс по состояниям · Баланс сохраняемой величины

Задать вопрос по задаче →
Увеличенный рисунок