Физтех 2024/25 · Физика · 9 кл., №1 — решение · финал

Условие

Шайба массой $m = 0{,}2$ кг движется поступательно по гладкой горизонтальной плоскости. Скорость шайбы изменяется со временем по закону $\vec V(t) = \vec V_0\left(1 - \dfrac{t}{T}\right)$ , здесь $\vec V_0$ — вектор начальной скорости, модуль начальной скорости $V_0 = 4$ м/с, постоянная $T = 2$ с.

1. Найдите путь $S$ пройденный шайбой за время от $t = 0$ до $t = 4T$ 2. Найдите модуль $F$ горизонтальной силы, действующей на шайбу. 3. Найдите работу $A$ силы $F$ за время от $t = 0$ до $t = T$

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Заключительный этап, вариант 09-01
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон: 2024/25

Подумай, что происходит с шайбой в момент $t = T$ и куда она движется потом. Запиши ответы на все три пункта; ниже проверяется путь $S$ в метрах.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеШайба и её скорость

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Шайба и её скорость

Что делает шайба после момента T — и чем путь отличается от перемещения?

Если модель не открылась, попробуй так. Нарисуй график V₀(1 − t/T) от 0 до 4T и посчитай площади треугольников над осью и под осью по отдельности.

Подсказка 1

Множитель $1 - t/T$ при $t = T$ обращается в нуль, а дальше становится отрицательным: шайба останавливается и едет обратно по той же прямой. Нарисуй график проекции скорости на направление $\vec V_0$ — это прямая линия. Путь — площадь между графиком и осью $t$ взятая по модулю.

Подсказка 2

До остановки путь $\dfrac{V_0 T}{2}$ (треугольник). После остановки движение равноускоренное из состояния покоя с тем же ускорением $V_0/T$ за $3T$ путь $\dfrac{V_0}{T}\cdot\dfrac{(3T)^2}{2}$ . Сила: $F = m\,\dfrac{\Delta V}{\Delta t} = m\dfrac{V_0}{T}$ . Работа за первые $T$ — изменение кинетической энергии.

Разобрать решение по шагам

Как движется шайба

Проекция скорости на направление $\vec V_0$ $V_x = V_0\left(1 - \dfrac{t}{T}\right)$ — убывает линейно, при $t = T$ равна нулю, потом отрицательна. Это равнозамедленное, а затем равноускоренное движение по одной прямой с постоянным ускорением $a = \dfrac{V_0}{T} = 2$ м/с², направленным против $\vec V_0$

Путь за 4T

До остановки (от $0$ до $T$ ): $S_1 = \dfrac{V_0 T}{2} = \dfrac{4 \cdot 2}{2} = 4$ м.

После остановки (от $T$ до $4T$ то есть за $3T = 6$ с) шайба разгоняется из покоя: $S_2 = \dfrac{a (3T)^2}{2} = \dfrac{2 \cdot 36}{2} = 36$ м.

S = S_1 + S_2 = 4 + 36 = 40 \text{ м}.

Проверка по правилу нечётных чисел: за равные промежутки $T$ после остановки пути относятся как $1 : 3 : 5$ то есть $4 \cdot (1 + 3 + 5) = 36$ м.

Сила

По второму закону Ньютона $F = ma = m\dfrac{V_0}{T} = 0{,}2 \cdot 2 = 0{,}4$ Н. Сила постоянна и направлена против $\vec V_0$ всё время.

Работа за первые T

По теореме о кинетической энергии: $A = \dfrac{mV^2(T)}{2} - \dfrac{mV_0^2}{2} = 0 - \dfrac{0{,}2 \cdot 16}{2} = -1{,}6$ Дж. Работа отрицательна: сила тормозит шайбу. (Проверка: $A = -F S_1 = -0{,}4 \cdot 4 = -1{,}6$ Дж.)

Проверка

Правила модели интегрируют модуль скорости численно ( $2 \cdot 10^5$ шагов) и получают $40{,}000$ м; отрезки пути за промежутки $T$ после остановки относятся как $1 : 3 : 5$ сила найдена из наклона графика скорости, работа — как изменение кинетической энергии и как $-F S_1$ Для варианта $09{-}02$ ( $\vec V = \vec V_0(t/T - 1)$ , $m = 0{,}4$ $V_0 = 2$ $T = 4$ до $3T$ ) тот же расчёт даёт $20$ м, $0{,}2$ Н, $-0{,}8$ Дж.

Ответ

1) $S = 40$ м; 2) $F = m V_0 / T = 0{,}4$ Н; 3) $A = -mV_0^2/2 = -1{,}6$ Дж.

Ответ

1) $S = 40$ м; 2) $F = m V_0 / T = 0{,}4$ Н; 3) $A = -mV_0^2/2 = -1{,}6$ Дж.

Главная идея

Проекция скорости — прямая через нуль при t = T: шайба тормозит, останавливается и разгоняется назад с тем же ускорением V₀/T; путь — сумма модулей площадей, сила ma, работа — изменение кинетической энергии.

Закон скорости с множителем (1 − t/T) — ищи момент смены знака: путь и перемещение после него различаются.

Где легко ошибиться

Считать путь как перемещение (V₀·4T − a(4T)²/2 = −32 м по модулю); брать работу за всё время вместо первых T; забыть знак работы.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 9 класс · 2024/25 · заключительный этап, вариант 09-01, задача 1. В модели можно выбрать другой официальный вариант этого номера (вариант 09-02): условие, модель и проверка ответа следуют выбранному варианту.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Официальные решения (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с решениями организатора. Ответ сверен с официальным решением организатора и совпадает с ним; объяснение и модель написаны заново.

Продолжить тему: Кинематика →

Тема, знания и приёмы

Кинематика · Нужна школьная база

Равноускоренное движение
Второй закон Ньютона
Теорема о кинетической энергии

Приёмы решения: Чтение графика и сопоставление состояний · Закон сохранения энергии

Задать вопрос по задаче →