Физтех 2024/25 · Физика · 9 кл., №3 — решение · финал

Условие

На шероховатой горизонтальной плоскости стоит клин. Шайбу кладут на шероховатую наклонную плоскость клина и сообщают шайбе начальную скорость. Шайба движется по покоящемуся клину. Часть зависимости модуля скорости шайбы от времени представлена на графике к задаче. Поступательное движение шайбы до и после остановки происходит по одной и той же прямой. Масса шайбы $m = 0{,}2$ кг, масса клина $2m$ Ускорение свободного падения $g = 10$ м/с².

1. Найдите $\sin\alpha$ здесь $\alpha$ — угол, который наклонная плоскость клина образует с горизонтом. 2. Найдите модуль $F_{ТР}$ наибольшей силы трения, с которой горизонтальная плоскость действует на клин в процессе движения шайбы по клину при $0 < t < 0{,}3$ с. 3. При каких значениях коэффициента $\mu$ трения скольжения клина по горизонтальной плоскости клин будет находиться в покое при $0 < t < 0{,}3$ с?

Рисунок к условию

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Заключительный этап, вариант 09-01
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон: 2024/25

Прочитай с графика два ускорения — при подъёме и при спуске. Запиши ответы на три пункта; ниже проверяется $\sin\alpha$

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеШайба на клине

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Шайба на клине

Куда направлено ускорение шайбы в каждой фазе — и когда пол должен держать клин сильнее всего?

Если модель не открылась, попробуй так. Нарисуй силы на шайбу при подъёме и при спуске и запиши ускорение вдоль склона в обоих случаях; сложи и вычти.

Подсказка 1

При подъёме трение и составляющая тяжести тормозят вместе: $a_1 = g(\sin\alpha + \mu_1\cos\alpha)$ ; при спуске они противоположны: $a_2 = g(\sin\alpha - \mu_1\cos\alpha)$ . С графика $a_1 = 0{,}8/0{,}1$ и $a_2 = 0{,}8/0{,}2$ Сложи.

Подсказка 2

Для клина проще рассмотреть систему «шайба + клин»: клин покоится, ускорение есть только у шайбы, и оно направлено вдоль склона вниз в обеих фазах. Горизонтальная внешняя сила — трение пола: $F_{тр} = m a\cos\alpha$ вертикальные: $N - 3mg = -m a\sin\alpha$ Наибольшее отношение $F_{тр}/N$ — при большем ускорении.

Разобрать решение по шагам

Угол по двум ускорениям

По графику при подъёме скорость падает с $0{,}8$ м/с до нуля за $0{,}1$ с: $a_1 = 8$ м/с²; при спуске растёт до $0{,}8$ м/с за $0{,}2$ с: $a_2 = 4$ м/с². Вдоль склона: $a_1 = g(\sin\alpha + \mu_1\cos\alpha)$ , $a_2 = g(\sin\alpha - \mu_1\cos\alpha)$ , где $\mu_1$ — коэффициент трения шайбы о клин. Складывая,

\sin\alpha = \frac{a_1 + a_2}{2g} = \frac{12}{20} = 0{,}6, \qquad \cos\alpha = 0{,}8, \qquad \mu_1 = \frac{a_1 - a_2}{2g\cos\alpha} = 0{,}25.

Система «шайба + клин»

Клин покоится, поэтому сумма внешних сил на систему равна $m\vec a$ — массе шайбы на её ускорение. Внешние силы: тяжесть $3mg$ реакция пола $N$ и трение пола $F_{тр}$ Ускорение шайбы в обеих фазах направлено вдоль склона вниз (при подъёме она тормозит, при спуске разгоняется).

Горизонтально: $F_{тр} = m a\cos\alpha$ Вертикально: $3mg - N = m a\sin\alpha$ откуда $N = 3mg - m a\sin\alpha$

Наибольшая сила трения

Сила трения пола пропорциональна ускорению шайбы, а оно больше при подъёме:

F_{тр,\max} = m a_1\cos\alpha = 0{,}2 \cdot 8 \cdot 0{,}8 = 1{,}28 \text{ Н} \quad (0 < t < 0{,}1 \text{ с}).

При спуске $F_{тр} = 0{,}2 \cdot 4 \cdot 0{,}8 = 0{,}64$ Н.

Условие покоя клина

Клин не сдвинется, если в каждый момент $F_{тр} \leqslant \mu N$ то есть $\mu \geqslant \dfrac{F_{тр}}{N} = \dfrac{a\cos\alpha}{3g - a\sin\alpha}$ . Отношение растёт с $a$ поэтому решает фаза подъёма:

\mu \geqslant \frac{a_1\cos\alpha}{3g - a_1\sin\alpha} = \frac{6{,}4}{30 - 4{,}8} = \frac{16}{63} \approx 0{,}25.

(При спуске потребовалось бы лишь $\mu \geqslant 3{,}2/27{,}6 \approx 0{,}12$ .)

Проверка

Правила модели восстанавливают движение шайбы по графику ( $V(0) = 0{,}8$ $V(0{,}1) = 0$ $V(0{,}3) = 0{,}8$ ), получают $a_1 = 8$ $a_2 = 4$ $\sin\alpha = 0{,}6$ $\mu_1 = 0{,}25$ и для обеих фаз считают силы пола: $F_{тр} = 1{,}28$ и $0{,}64$ Н, $N = 5{,}04$ и $5{,}52$ Н, отношения $0{,}254$ и $0{,}116$ Для варианта $09{-}02$ (график до $0{,}6$ м/с, клин $1{,}5m$ $m = 0{,}4$ ) модель даёт $\sin\alpha = 0{,}45$ $N = 8{,}92$ Н при подъёме и $\mu \geqslant 0{,}24$

Ответ

1) $\sin\alpha = \dfrac{a_1 + a_2}{2g} = 0{,}6$ ; 2) $F_{ТР} = m a_1\cos\alpha = 1{,}28$ Н (при $0 < t < 0{,}1$ с); 3) $\mu \geqslant \dfrac{a_1\cos\alpha}{3g - a_1\sin\alpha} = \dfrac{16}{63} \approx 0{,}25$ .

Ответ

Главная идея

Два ускорения с графика складываются в 2g sin α (трение сокращается); для клина — система «шайба + клин»: F_тр = ma cos α, N = 3mg − ma sin α, больше всего при подъёме; μ ≥ F_тр/N = 16/63.

График скорости «вверх — стоп — вниз» по шероховатой наклонной: сумма ускорений даёт угол, разность — трение; силы на неподвижный клин ищи через ускорение системы.

Где легко ошибиться

Считать, что при спуске ускорение направлено вверх по склону; брать N = 3mg; проверять условие покоя только для одной фазы; путать μ (пол–клин) и μ₁ (шайба–клин).

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 9 класс · 2024/25 · заключительный этап, вариант 09-01, задача 3. В модели можно выбрать другой официальный вариант этого номера (вариант 09-02): условие, модель и проверка ответа следуют выбранному варианту.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Официальные решения (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с решениями организатора. Ответ сверен с официальным решением организатора и совпадает с ним; объяснение и модель написаны заново.

Продолжить тему: Силы и ускорение →

Тема, знания и приёмы

Силы и ускорение · Продвинутая подготовка

Движение по наклонной плоскости с трением
Второй закон Ньютона для системы тел
Условие покоя при сухом трении

Приёмы решения: Чтение графика и сопоставление состояний · Уравнение сил

Задать вопрос по задаче →