Физтех 2024/25 · Физика · 9 кл., №2 — решение · финал

Условие

Футболист наносит удар по мячу, лежащему на горизонтальной площадке. Через $T = 4$ с мяч падает на площадку. Известно, что отношение максимальной и минимальной скоростей мяча в процессе полёта $\dfrac{V_{MAX}}{V_{MIN}} = n = 2$ . Ускорение свободного падения $g = 10$ м/с². Силу сопротивления воздуха считайте пренебрежимо малой.

1. Найдите максимальную высоту $H$ полёта. 2. Найдите горизонтальную дальность $S$ полёта. 3. Найдите радиус $R$ кривизны начального участка траектории.

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Заключительный этап, вариант 09-01
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон: 2024/25

Где скорость мяча наибольшая, а где наименьшая? Запиши ответы на три пункта; ниже проверяется высота $H$ в метрах.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеУдар по мячу

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Удар по мячу

При каком угле удара наибольшая скорость вдвое больше наименьшей — и как это влияет на дальность?

Если модель не открылась, попробуй так. Разложи начальную скорость на горизонтальную и вертикальную; вертикальная находится из времени полёта. Выпиши скорость в начале и в верхней точке.

Подсказка 1

Время полёта задаёт вертикальную скорость: подъём длится $T/2$ значит $V_{0y} = g T/2$ и $H = V_{0y}^2/(2g)$ Наибольшая скорость — в начале (и в конце), наименьшая — в верхней точке, где остаётся только горизонтальная составляющая.

Подсказка 2

$n = V_0 / V_{0x} = 1/\cos\theta$ , откуда $\cos\theta = 1/n$ — угол удара $60^\circ$ Тогда $V_{0x} = V_{0y}/\operatorname{tg}\theta$ и $S = V_{0x} T$ Для радиуса кривизны в начале: $R = V_0^2 / a_n$ где $a_n = g\cos\theta$ — составляющая $g$ перпендикулярная скорости.

Разобрать решение по шагам

Высота

Подъём и спуск занимают по $T/2 = 2$ с: $V_{0y} = g\cdot\dfrac{T}{2} = 20$ м/с и

H = \frac{V_{0y}^2}{2g} = \frac{g T^2}{8} = \frac{10 \cdot 16}{8} = 20 \text{ м}.

Угол удара из отношения скоростей

Горизонтальная составляющая скорости постоянна, вертикальная меняется: скорость наибольшая в момент удара ( $V_{MAX} = V_0$ ) и наименьшая в верхней точке ( $V_{MIN} = V_{0x} = V_0\cos\theta$ ). Поэтому

n = \frac{V_0}{V_0\cos\theta} = \frac{1}{\cos\theta}, \qquad \cos\theta = \frac{1}{2}, \quad \theta = 60^\circ, \quad \sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}.

Дальность

$V_{0x} = \dfrac{V_{0y}}{\operatorname{tg}\theta} = \dfrac{20}{\sqrt{3}}$ м/с, и

S = V_{0x} T = \frac{80}{\sqrt{3}} = \frac{g T^2}{2\sqrt{n^2 - 1}} \approx 46 \text{ м}.

Радиус кривизны в начале

В начальной точке скорость $V_0 = \dfrac{V_{0y}}{\sin\theta} = \dfrac{40}{\sqrt{3}}$ м/с направлена под углом $\theta$ к горизонту. Нормальное ускорение — проекция $\vec g$ на перпендикуляр к скорости: $a_n = g\cos\theta = 5$ м/с². Тогда

R = \frac{V_0^2}{a_n} = \frac{1600/3}{5} = \frac{320}{3} = \frac{n^3 g T^2}{4(n^2 - 1)} \approx 107 \text{ м}.

Проверка

Правила модели считают полёт при углах $30^\circ$ – $75^\circ$ с заданным временем $T$ мяч приземляется ровно при $t = T$ на расстоянии $S$ наибольшая и наименьшая скорости на траектории совпадают с $V_0$ и $V_{0x}$ а радиус кривизны в начале, найденный по трём близким точкам траектории, совпадает с $V_0^2/(g\cos\theta)$ с точностью лучше $0{,}5\%$ При $n = 2$ $\theta = 60^\circ$ $H = 20$ м, $S = 80/\sqrt{3} \approx 46{,}2$ м, $R = 320/3 \approx 106{,}7$ м.

Ответ

1) $H = gT^2/8 = 20$ м; 2) $S = \dfrac{gT^2}{2\sqrt{n^2 - 1}} = \dfrac{80}{\sqrt{3}} \approx 46$ м; 3) $R = \dfrac{n^3 g T^2}{4(n^2 - 1)} = \dfrac{320}{3} \approx 107$ м.

Ответ

1) $H = gT^2/8 = 20$ м; 2) $S = \dfrac{gT^2}{2\sqrt{n^2 - 1}} = \dfrac{80}{\sqrt{3}} \approx 46$ м; 3) $R = \dfrac{n^3 g T^2}{4(n^2 - 1)} = \dfrac{320}{3} \approx 107$ м.

Главная идея

Время полёта даёт V₀y = gT/2 и H = gT²/8; V_max/V_min = V₀/V₀x = 1/cos θ даёт угол; S = V₀x·T; радиус кривизны R = V₀²/(g cos θ).

Отношение наибольшей и наименьшей скоростей в полёте без сопротивления — это 1/cos θ; радиус кривизны — квадрат скорости на нормальное ускорение.

Где легко ошибиться

Брать V_min = 0; считать H = gT²/2 (забыть, что подъём длится T/2); для радиуса кривизны делить на g, а не на g cos θ.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 9 класс · 2024/25 · заключительный этап, вариант 09-01, задача 2.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Официальные решения (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с решениями организатора. Ответ сверен с официальным решением организатора и совпадает с ним; объяснение и модель написаны заново.

Продолжить тему: Кинематика →

Тема, знания и приёмы

Кинематика · Начальный вход

Движение тела, брошенного под углом
Разложение ускорения на касательное и нормальное
Радиус кривизны R = V²/aₙ

Приёмы решения: Относительное движение · Чтение графика и сопоставление состояний

Задать вопрос по задаче →