Физтех 2024/25 · Физика · 10 кл., №5 — решение · финал

Условие

По поверхности закреплённой диэлектрической полусферы однородно распределён заряд $Q$ Точки $A$ $O$ $C$ находятся на оси симметрии (см. рис.). Точка $O$ удалена от всех точек полусферы на расстояние $R$ Из точки $A$ стартовала с нулевой начальной скоростью частица, масса которой $m$ заряд $q$ В точке $O$ частица движется со скоростью $V_O$

1. С какой скоростью $V$ частица движется на большом по сравнению с $R$ расстоянии от точки $O$ Коэффициент пропорциональности в законе Кулона $k$ Действие на частицу всех сил кроме кулоновских пренебрежимо мало. 2. Найдите скорость $V_C$ с которой частица движется в точке $C$ Точки $A$ и $C$ находятся на неизвестных равных расстояниях от точки $O$

Эффекты, связанные с поляризацией диэлектрика, считайте пренебрежимо малыми. Скорость частицы в любой точке траектории мала по сравнению со скоростью электромагнитных волн в вакууме.

Рисунок к условию

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Заключительный этап, вариант 10-01
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон: 2024/25

Чему равен потенциал в центре полусферы, если все её точки на расстоянии $R$ Запиши оба ответа формулами; ниже проверяется отношение $V_C/V_O$

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеПолусфера на оси

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Полусфера на оси

Почему скорость в точке C ровно в √2 раз больше, чем в центре, — откуда бы ни стартовала частица?

Если модель не открылась, попробуй так. Запиши потенциал в центре; затем дополни полусферу до сферы и сравни поля в точках A и C.

Подсказка 1

Все точки полусферы удалены от $O$ ровно на $R$ поэтому $\varphi_O = kQ/R$ а на бесконечности $\varphi = 0$ Первый пункт — закон сохранения энергии между $O$ и бесконечностью. Для второго пункта нужна связь $\varphi_A$ и $\varphi_C$ без вычисления каждого из них.

Подсказка 2

Дополни полусферу до полной сферы: внутри полной сферы поле равно нулю, значит, в любой точке внутри поле «левой» полусферы противоположно полю «правой». Но правая полусфера — зеркальное отражение левой, и её поле в точке $C$ такое же, как поле левой в точке $A$ Выведи отсюда, что поле полусферы одинаково в $A$ и $C$ а значит $\varphi_A - \varphi_O = \varphi_O - \varphi_C$ .

Разобрать решение по шагам

Потенциал в центре и скорость вдали

Все элементы заряда полусферы находятся на расстоянии $R$ от точки $O$ поэтому $\varphi_O = kQ/R$ Вдали $\varphi = 0$ По закону сохранения энергии

\frac{mV_O^2}{2} + \frac{kqQ}{R} = \frac{mV^2}{2}, \qquad V = \sqrt{V_O^2 + \frac{2kqQ}{mR}}.

(Частица движется от $A$ к $O$ и дальше, значит, заряды одного знака и $qQ > 0$ — она ускоряется.)

Поле полусферы одинаково в симметричных точках оси

Для любой точки $X$ оси внутри сферы радиуса $R$ (то есть при $OX < R$ ) дополним нашу полусферу до полной сферы второй, зеркальной полусферой. Внутри полной однородно заряженной сферы поле равно нулю, поэтому $\vec E_1(X) = -\vec E_2(X)$ . Но зеркальная полусфера в точке $C$ создаёт такое же по модулю и противоположное по направлению поле, что наша полусфера в симметричной точке $A$ Складывая, получаем $\vec E_1(C) = \vec E_1(A)$ : вдоль всей оси между $A$ и $C$ поле полусферы симметрично относительно $O$

Удвоение кинетической энергии

Раз поле на отрезках $AO$ и $OC$ одинаково (в симметричных точках), работа поля на этих отрезках одинакова: $\varphi_A - \varphi_O = \varphi_O - \varphi_C$ . Кинетическая энергия в $O$ равна $q(\varphi_A - \varphi_O)$ а в $C$ — $q(\varphi_A - \varphi_C) = 2q(\varphi_A - \varphi_O)$ :

\frac{mV_C^2}{2} = 2\cdot\frac{mV_O^2}{2}, \qquad V_C = \sqrt2\,V_O.

Ответ не зависит от расстояния $OA = OC$ — лишь бы оно было меньше $R$

Проверка

Правила модели используют точный потенциал на оси однородно заряженной полусферы, $\varphi(z) = \dfrac{kQ}{R}\cdot\dfrac{\sqrt{R^2 + z^2} - |R - z|}{z}$ для стороны купола (и симметричное выражение по другую сторону), проверенный прямым суммированием по кольцам; для всех $|z| < R$ выполняется $\varphi(z) + \varphi(-z) = 2kQ/R$ , потенциал монотонно убывает вдоль пути, а отношение $V_C/V_O = \sqrt2$ и равенство $V^2 = V_O^2 + 2kqQ/(mR)$ выполняются при любом начальном расстоянии $OA < R$

Ответ

1) $V = \sqrt{V_O^2 + \dfrac{2kqQ}{mR}}$ ; 2) $V_C = \sqrt2\,V_O$ (при любом $OA = OC < R$ ).

Ответ

1) $V = \sqrt{V_O^2 + \dfrac{2kqQ}{mR}}$ ; 2) $V_C = \sqrt2\,V_O$ (при любом $OA = OC < R$ ).

Главная идея

φ_O = kQ/R, так как все заряды на расстоянии R; дополнение до полной сферы (поле внутри нуль) даёт одинаковое поле полусферы в симметричных точках оси, поэтому φ_A − φ_O = φ_O − φ_C и энергия в C вдвое больше.

Полусфера и симметричные точки на оси — дополнить до сферы; поле внутри сферы нуль, а отражение переводит одну полусферу в другую.

Где легко ошибиться

Считать потенциал в A и C равными (как у сферы); брать φ_A = φ_O; думать, что ответ зависит от расстояния OA.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 10 класс · 2024/25 · заключительный этап, вариант 10-01, задача 5. В модели можно выбрать другой официальный вариант этого номера (вариант 10-02 (дана скорость вдали, найти V_O и V_C)): условие, модель и проверка ответа следуют выбранному варианту.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 2) ↗ · Официальные решения (PDF организатора, стр. 2–3) ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с решениями организатора. Ответ сверен с официальным решением организатора и совпадает с ним; объяснение и модель написаны заново.

Продолжить тему: Электростатика →

Тема, знания и приёмы

Электростатика · Продвинутая подготовка

Потенциал и закон сохранения энергии в электростатике
Поле внутри однородно заряженной сферы равно нулю
Принцип суперпозиции

Приёмы решения: Закон сохранения энергии · Баланс сохраняемой величины

Задать вопрос по задаче →