Физтех 2024/25 · Физика · 10 кл., №2 — решение · финал

Условие

Фейерверк установлен на горизонтальной площадке. После мгновенного сгорания топлива начинается полёт фейерверка по вертикали. В процессе подъёма на высоте $h = 8$ м фейерверк находился через $\tau = 0{,}8$ с после начала полёта.

1. На какую максимальную высоту $H$ поднимается фейерверк? Ускорение свободного падения $g = 10$ м/с². Сопротивление воздуха считайте пренебрежимо малым.

На максимальной высоте фейерверк разрывается на два осколка одинаковой массы, один из которых летит со скоростью $V_0 = 20$ м/с. Направление вектора $\vec V_0$ скорости таково, что расстояние между осколками после падения на горизонтальную площадку максимальное.

2. Найдите максимальное расстояние $L_{MAX}$ между осколками после падения осколков на горизонтальную площадку.

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Заключительный этап, вариант 10-01
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон: 2024/25

В верхней точке скорость фейерверка нулевая — что это значит для импульсов осколков? Запиши ответы на оба пункта; ниже проверяется $H$ в метрах.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеФейерверк

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Фейерверк

Под каким углом должны разлететься осколки, чтобы упасть как можно дальше друг от друга?

Если модель не открылась, попробуй так. Найди v₀ из h и τ, затем H. Для осколков выпиши времена падения вверх-летящего и вниз-летящего и расстояние как функцию угла.

Подсказка 1

Подъём: $h = v_0\tau - g\tau^2/2$ даёт начальную скорость $v_0$ а $H = v_0^2/(2g)$ При разрыве в верхней точке импульс нулевой, массы равны — второй осколок летит со скоростью $-\vec V_0$ Пусть $\vec V_0$ составляет угол $\theta$ с горизонтом; выпиши времена падения обоих осколков с высоты $H$

Подсказка 2

Расстояние $L = V_0\cos\theta\,(T_1 + T_2)$ , где $T_{1,2} = \dfrac{\pm V_0\sin\theta + \sqrt{V_0^2\sin^2\theta + 2gH}}{g}$ , то есть $L = \dfrac{2V_0\cos\theta}{g}\sqrt{V_0^2\sin^2\theta + 2gH}$ . Обозначь $u = \sin^2\theta$ под корнем в $L^2$ стоит произведение $(1-u)(V_0^2 u + 2gH)$ — парабола, максимум посередине между корнями.

Разобрать решение по шагам

Начальная скорость и высота

На подъёме $h = v_0\tau - \dfrac{g\tau^2}{2}$ , откуда

v_0 = \frac{h}{\tau} + \frac{g\tau}{2} = 10 + 4 = 14 \text{ м/с}, \qquad H = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{196}{20} = 9{,}8 \text{ м}.

Осколки разлетаются симметрично

В верхней точке скорость фейерверка равна нулю, значит, суммарный импульс осколков нулевой: при равных массах второй осколок получает скорость $-\vec V_0$ Пусть $\vec V_0$ направлена под углом $\theta$ к горизонту вверх; тогда второй осколок летит под тем же углом вниз. Горизонтальные скорости $\pm V_0\cos\theta$ вертикальные $\pm V_0\sin\theta$ Времена падения с высоты $H$

T_{1,2} = \frac{\pm V_0\sin\theta + \sqrt{V_0^2\sin^2\theta + 2gH}}{g}, \qquad T_1 + T_2 = \frac{2\sqrt{V_0^2\sin^2\theta + 2gH}}{g}.

Расстояние и его максимум

Осколки разлетаются в противоположные стороны, расстояние между точками падения

L = V_0\cos\theta\,(T_1 + T_2) = \frac{2}{g}\sqrt{(V_0^2 - V_0^2\sin^2\theta)(V_0^2\sin^2\theta + 2gH)}.

При $u = V_0^2\sin^2\theta$ под корнем стоит $(V_0^2 - u)(u + 2gH)$ — перевёрнутая парабола с корнями $u = V_0^2$ и $u = -2gH$ максимум посередине, $u = \dfrac{V_0^2 - 2gH}{2}$ , он достижим, так как $V_0^2 = 400 > 2gH = 196$ Тогда оба сомножителя равны $\dfrac{V_0^2 + 2gH}{2}$ и

L_{MAX} = \frac{2}{g}\cdot\frac{V_0^2 + 2gH}{2} = \frac{V_0^2}{g} + 2H = 40 + 19{,}6 = 59{,}6 \text{ м}.

Угол при этом: $\sin^2\theta = \dfrac{V_0^2 - 2gH}{2V_0^2} = 0{,}255$ , $\theta \approx 30^\circ$

Проверка

Правила модели считают полёт обоих осколков при любом угле $\theta$ и расстояние между точками падения; численный максимум по сетке углов с шагом $0{,}01^\circ$ совпадает с формулой $V_0^2/g + 2H$ и с углом $\sin^2\theta = (V_0^2 - 2gH)/(2V_0^2)$ ; проверено, что при $t = \tau$ фейерверк находится на высоте $h$ а осколки приземляются в моменты $T_1$ $T_2$ Для 10-01: $H = 9{,}8$ м, $L_{MAX} = 59{,}6$ м; для 10-02 ( $V = 4$ м/с на высоте $11{,}2$ м, $V_0 = 16$ м/с): $H = 12$ м, $L_{MAX} = 49{,}6$ м.

Ответ

1) $H = \dfrac{1}{2g}\left(\dfrac{h}{\tau} + \dfrac{g\tau}{2}\right)^2 = 9{,}8$ м; 2) $L_{MAX} = \dfrac{V_0^2}{g} + 2H = 59{,}6$ м (при $V_0^2 > 2gH$ ).

Ответ

1) $H = \dfrac{1}{2g}\left(\dfrac{h}{\tau} + \dfrac{g\tau}{2}\right)^2 = 9{,}8$ м; 2) $L_{MAX} = \dfrac{V_0^2}{g} + 2H = 59{,}6$ м (при $V_0^2 > 2gH$ ).

Главная идея

Нулевой импульс в верхней точке даёт осколки ±V₀; L = (2/g)·√((V₀² − V₀²sin²θ)(V₀²sin²θ + 2gH)) — произведение с постоянной суммой сомножителей максимально при их равенстве.

Разрыв в верхней точке + «расстояние максимальное» — это максимум произведения двух линейных по sin²θ множителей с постоянной суммой.

Где легко ошибиться

Брать осколки с горизонтальными скоростями (θ = 0); считать, что оба осколка падают одновременно; забыть проверить условие V₀² > 2gH.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 10 класс · 2024/25 · заключительный этап, вариант 10-01, задача 2. В модели можно выбрать другой официальный вариант этого номера (вариант 10-02 (в первом пункте дана скорость на высоте h)): условие, модель и проверка ответа следуют выбранному варианту.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Официальные решения (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с решениями организатора. Ответ сверен с официальным решением организатора и совпадает с ним; объяснение и модель написаны заново.

Продолжить тему: Кинематика →

Тема, знания и приёмы

Кинематика · Продвинутая подготовка

Равноускоренное движение по вертикали
Закон сохранения импульса при разрыве
Максимум произведения при постоянной сумме

Приёмы решения: Закон сохранения импульса · Относительное движение

Задать вопрос по задаче →