Физтех 2024/25 · Физика · 10 кл., №3 — решение · финал

Условие

Два шарика с массами $m = 0{,}1$ кг и $3m$ подвешены на невесомых нерастяжимых нитях длины $l$ прикреплённых к одной точке потолка. Шарики скреплены с лёгким стержнем длины $L = 1{,}6l$ Систему удерживают так, что шарики находятся на одной высоте. Далее систему освобождают.

1. Какой угол $\alpha$ с горизонтом образует вектор $\vec a_1$ ускорения шарика массой $m$ сразу после освобождения системы? В ответе укажите $\sin\alpha$ 2. Найдите модуль $a_1$ ускорения шарика массой $m$ сразу после освобождения системы. Начальная скорость нулевая. Ускорение свободного падения $g = 10$ м/с². 3. Найдите модуль $T$ упругой силы, с которой стержень действует на этот шарик сразу после освобождения системы.

Рисунок к условию

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Заключительный этап, вариант 10-01
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон: 2024/25

Пока нити натянуты, треугольник «точка подвеса — два шарика» жёсткий. Как он может двигаться? Запиши ответы на три пункта; ниже проверяется $\sin\alpha$

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеШарики на нитях

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Шарики на нитях

Почему ускорения обоих шариков одинаковы по модулю — и сжат или растянут стержень?

Если модель не открылась, попробуй так. Нарисуй треугольник «подвес — шарики», отметь, что он поворачивается как целое; запиши для каждого шарика проекцию второго закона Ньютона на касательную.

Подсказка 1

Нити натянуты, стержень жёсткий — треугольник поворачивается вокруг точки подвеса как целое. В начальный момент скорость нулевая, и ускорение каждого шарика перпендикулярно его нити. Угол нити с вертикалью: $\sin\alpha = \dfrac{L/2}{l}$ .

Подсказка 2

Оба шарика движутся по окружностям радиуса $l$ с общей угловой скоростью, поэтому модули их ускорений равны: $a_1 = a_2 = a$ Спроецируй второй закон Ньютона для каждого шарика на касательную к его окружности: сила стержня $T$ одинакова по модулю для обоих, натяжения нитей в проекции не входят. Сложи два уравнения — $T$ сократится.

Разобрать решение по шагам

Жёсткий треугольник

Нерастяжимые нити и жёсткий стержень образуют вместе с точкой подвеса треугольник, который может лишь поворачиваться вокруг точки подвеса (пока нити натянуты — ниже это проверяется). Начальная скорость нулевая, поэтому ускорение каждого шарика направлено по касательной к его окружности, то есть перпендикулярно нити. Нить составляет с вертикалью угол $\alpha$ а ускорение — такой же угол с горизонтом:

\sin\alpha = \frac{L/2}{l} = 0{,}8, \qquad \cos\alpha = 0{,}6.

Лёгкий шарик движется вверх (тяжёлый перевешивает).

Ускорение

Стержень невесомый, поэтому его силы на шарики направлены вдоль стержня (горизонтально) и равны по модулю: $T_1 = T_2 = T$ Проекции второго закона Ньютона на касательные (вверх для $m$ вниз для $3m$ ):

ma = T\cos\alpha - mg\sin\alpha, \qquad 3ma = 3mg\sin\alpha - T\cos\alpha.

Складываем: $4ma = 2mg\sin\alpha$ откуда

a = \frac{g\sin\alpha}{2} = 4 \text{ м/с}^2.

(То же даёт уравнение моментов относительно подвеса: $\varepsilon = \dfrac{(3m - m)g\cdot L/2}{4ml^2}$ , $a = \varepsilon l$ )

Сила стержня

Из первого уравнения

T = \frac{m(a + g\sin\alpha)}{\cos\alpha} = \frac{0{,}1\,(4 + 8)}{0{,}6} = 2 \text{ Н} \quad\left(= \frac{3}{2}\,mg\,\operatorname{tg}\alpha\right).

Стержень сжат: он толкает лёгкий шарик наружу. Проверка натяжений нитей: $N_1 = \dfrac{m(g + a\sin\alpha)}{\cos\alpha} = 2{,}2$ Н, $N_2 = \dfrac{3m(g - a\sin\alpha)}{\cos\alpha} = 3{,}4$ Н — обе положительны, нити действительно натянуты.

Проверка

Правила модели решают жёсткий треугольник вокруг подвеса: из момента сил находится угловое ускорение, затем для каждого шарика по второму закону Ньютона — натяжение нити и сила стержня; проверено, что силы стержня на два шарика равны и противоположны, ускорения равны по модулю, ускорение лёгкого шарика перпендикулярно нити и направлено вверх под углом $\alpha$ а при численном качании (метод Рунге — Кутты, 2 с) натяжения нитей остаются положительными и энергия сохраняется. Для 10-01: $\sin\alpha = 0{,}8$ $a = 4$ м/с², $T = 2$ Н; для 10-02 ( $L = 1{,}2l$ $m = 80$ г): $\sin\alpha = 0{,}6$ $a = 3$ м/с², $T = 0{,}9$ Н.

Ответ

1) $\sin\alpha = \dfrac{L}{2l} = 0{,}8$ ; 2) $a_1 = \dfrac{g\sin\alpha}{2} = 4$ м/с²; 3) $T = \dfrac{3}{2}\,mg\,\operatorname{tg}\alpha = 2$ Н.

Ответ

1) $\sin\alpha = \dfrac{L}{2l} = 0{,}8$ ; 2) $a_1 = \dfrac{g\sin\alpha}{2} = 4$ м/с²; 3) $T = \dfrac{3}{2}\,mg\,\operatorname{tg}\alpha = 2$ Н.

Главная идея

Натянутые нити + жёсткий стержень = треугольник, вращающийся вокруг подвеса; ускорения ⊥ нитям и равны; касательные проекции второго закона Ньютона складываются, и сила стержня сокращается.

Два груза на нитях из одной точки, скреплённые стержнем, — это одно твёрдое тело с одной угловой скоростью.

Где легко ошибиться

Считать, что лёгкий шарик свободно падает; брать ускорения разными по модулю; забывать, что сила стержня горизонтальна и одинакова для обоих шариков.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 10 класс · 2024/25 · заключительный этап, вариант 10-01, задача 3. В модели можно выбрать другой официальный вариант этого номера (вариант 10-02 (вопросы про шарик 3m)): условие, модель и проверка ответа следуют выбранному варианту.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Официальные решения (PDF организатора, стр. 2) ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с решениями организатора. Ответ сверен с официальным решением организатора и совпадает с ним; объяснение и модель написаны заново.

Продолжить тему: Силы и ускорение →

Тема, знания и приёмы

Силы и ускорение · Продвинутая подготовка

Второй закон Ньютона в проекциях
Движение по окружности: касательное ускорение
Связи: нерастяжимая нить, жёсткий стержень

Приёмы решения: Уравнение сил · Баланс сохраняемой величины

Задать вопрос по задаче →