Физтех 2024/25 · Физика · 10 кл., №1 — решение · финал

Условие

Вырезанную из однородного листа металла пластину в форме равностороннего треугольника $ABC$ (см. рис.) положили на гладкую горизонтальную плоскость и толкнули. Пластина пришла в движение. В момент $t = 0$ оказалось, что скорость $\vec v_A$ точки $A$ параллельна стороне $BC$ и по величине равна $v_A = 0{,}4$ м/с, а скорость $\vec v_C$ вершины $C$ направлена вдоль стороны $CA$ Длины сторон треугольника $a = 0{,}2$ м.

1. Найдите модуль $v_C$ скорости вершины $C$ 2. За какое время $\tau$ пластина в системе центра масс совершит три оборота?

Пчела массой $m = 100$ мг прилетает и садится на пластину вблизи вершины $B$

3. Найдите модуль $R$ равнодействующей сил, приложенных к пчеле, сидящей на движущейся пластине. Масса пчелы пренебрежимо мала по сравнению с массой пластины.

Рисунок к условию

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Заключительный этап, вариант 10-01
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон: 2024/25

Пластина твёрдая: расстояние $AC$ не меняется. Что это говорит о проекциях скоростей $A$ и $C$ на прямую $AC$ Запиши ответы на три пункта; ниже проверяется $v_C$ в м/с.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеПластина на столе

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Пластина на столе

Как связаны скорости двух точек твёрдой пластины — и по какой кривой движется пчела?

Если модель не открылась, попробуй так. Нарисуй треугольник и обе скорости; спроецируй их на AC. Затем вычти векторы: разность — скорость C относительно A.

Подсказка 1

У твёрдого тела проекции скоростей любых двух точек на соединяющую их прямую равны (иначе расстояние менялось бы). Спроецируй $\vec v_A$ и $\vec v_C$ на $AC$ угол между $\vec v_A$ и $AC$ равен $60^\circ$

Подсказка 2

Угловая скорость: скорость точки $C$ относительно $A$ равна $\omega\cdot a$ и перпендикулярна $AC$ Найди $\vec v_C - \vec v_A$ (вычти векторы: один по горизонтали, другой вдоль $CA$ ) — его модуль $\omega a$ Период $2\pi/\omega$ Для пчелы: система центра масс пластины инерциальна (внешних горизонтальных сил нет), в ней пчела движется по окружности радиуса $BO = a/\sqrt3$ с угловой скоростью $\omega$

Разобрать решение по шагам

Проекции на AC равны

Пластина — твёрдое тело, поэтому проекции скоростей точек $A$ и $C$ на прямую $AC$ одинаковы. $\vec v_A$ параллельна $BC$ и составляет с $CA$ угол $60^\circ$ $\vec v_C$ направлена вдоль $CA$

v_C = v_A\cos 60^\circ = \frac{v_A}{2} = 0{,}2 \text{ м/с}.

Официальное решение получает то же через мгновенный центр вращения $F$ — точку пересечения перпендикуляров к $\vec v_A$ (в точке $A$ ) и к $\vec v_C$ (в точке $C$ ): $v_C/v_A = FC/FA = \sin 30^\circ$ .

Угловая скорость и три оборота

Разность скоростей $\vec v_C - \vec v_A$ — это скорость $C$ относительно $A$ она равна $\omega a$ по модулю. Вектор $\vec v_A$ горизонтален ( $0{,}4$ м/с), вектор $\vec v_C$ длиной $0{,}2$ м/с направлен под $60^\circ$ к горизонту; их разность имеет модуль

|\vec v_C - \vec v_A| = \sqrt{v_A^2 + v_C^2 - 2 v_A v_C\cos 60^\circ} = \sqrt{0{,}16 + 0{,}04 - 0{,}08} = 0{,}2\sqrt3 \text{ м/с},

откуда $\omega = \dfrac{0{,}2\sqrt3}{0{,}2} = \sqrt3$ рад/с $= \sqrt3\,\dfrac{v_C}{a}$ Три оборота занимают

\tau = 3\cdot\frac{2\pi}{\omega} = \frac{6\pi}{\sqrt3} = 2\sqrt3\,\pi \approx 10{,}9 \text{ с}.

Пчела у вершины B

Плоскость гладкая, горизонтальных внешних сил нет, поэтому центр масс $O$ пластины движется равномерно, а система центра масс — инерциальная. В ней пластина только вращается с угловой скоростью $\omega$ и пчела у вершины $B$ описывает окружность радиуса $BO = a/\sqrt3$ Равнодействующая сил, приложенных к пчеле, — центростремительная:

R = m\omega^2\,\frac{a}{\sqrt3} = 10^{-4}\cdot 3\cdot\frac{0{,}2}{\sqrt3} = 2\sqrt3\cdot 10^{-5} \approx 3{,}46\cdot 10^{-5} \text{ Н}.

Через $v_C$ $R = \sqrt3\,m v_C^2/a$ — так записан официальный ответ.

Проверка

Правила модели решают задачу как для твёрдого тела: из условий « $\vec v_A \parallel BC$ » и « $\vec v_C \parallel CA$ » находятся скорость центра и $\omega$ проверено, что поле скоростей сохраняет длины сторон, что мгновенный центр $F$ имеет нулевую скорость, что проекции $\vec v_A$ и $\vec v_C$ на $AC$ совпадают и что через период положение пластины повторяется. Для 10-01: $v_C = 0{,}2$ м/с, $\omega = \sqrt3$ рад/с, $\tau = 2\sqrt3\pi \approx 10{,}88$ с, $R = 2\sqrt3\cdot 10^{-5}$ Н; для зеркального варианта 10-02 — $v_B = 0{,}4$ м/с, $\tau \approx 14{,}5$ с, $R \approx 4{,}16\cdot 10^{-5}$ Н.

Ответ

1) $v_C = v_A/2 = 0{,}2$ м/с; 2) $\tau = 3\cdot 2\pi\dfrac{a}{\sqrt3\,v_C} = 2\sqrt3\,\pi \approx 10{,}9$ с; 3) $R = \dfrac{\sqrt3\,m v_C^2}{a} = 2\sqrt3\cdot 10^{-5} \approx 3{,}5\cdot 10^{-5}$ Н.

Ответ

Главная идея

Проекции скоростей концов жёсткого отрезка на него равны: v_C = v_A cos 60°; относительная скорость ωa даёт ω; в инерциальной системе центра масс пчела движется по окружности радиуса a/√3.

Две скорости точек твёрдого тела с известными направлениями — это всегда «проекции на соединяющую прямую равны» плюс «разность скоростей = ω·расстояние».

Где легко ошибиться

Считать, что ω = v_A/a; забыть, что центр масс движется (и брать окружность вокруг A); пересчитывать мг в кг с ошибкой.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 10 класс · 2024/25 · заключительный этап, вариант 10-01, задача 1. В модели можно выбрать другой официальный вариант этого номера (вариант 10-02 (зеркальный: вершина B, пчела у C)): условие, модель и проверка ответа следуют выбранному варианту.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Официальные решения (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с решениями организатора. Ответ сверен с официальным решением организатора и совпадает с ним; объяснение и модель написаны заново.

Продолжить тему: Кинематика →

Тема, знания и приёмы

Кинематика · Продвинутая подготовка

Скорости точек твёрдого тела: v = v_O + ω×r
Мгновенный центр вращения
Центростремительное ускорение

Приёмы решения: Относительное движение · Уравнение сил

Задать вопрос по задаче →