Физтех 2024/25 · Физика · 10 кл., №4 — решение · финал

Условие

Подъёмник грузов приводится в движение с помощью тепловой машины, в которой $\nu = 2$ моль одноатомного идеального газа участвуют в цикле 1-2-3-1. Зависимость молярной теплоёмкости газа в цикле от температуры представлена на графике к задаче, $T_0 = 300$ К.

1. Постройте график процесса в координатах $(P/P_0,\ V/V_0)$ здесь $P_0$ $V_0$ — давление и объём газа в состоянии 1. 2. Какое количество $Q_1$ теплоты подводится к газу в процессе расширения за один цикл? 3. На какую высоту $H$ подъёмник медленно переместит груз массой $M = 150$ кг за $N = 10$ циклов тепловой машины?

Ускорение свободного падения $g = 10$ м/с², универсальная газовая постоянная $R = 8{,}31$ Дж/(моль·К). Считайте, что в каждом цикле половина работы газа за цикл преобразуется в полезную работу подъёмника.

Рисунок к условию

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Заключительный этап, вариант 10-01
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон: 2024/25

Какие процессы одноатомного газа имеют теплоёмкости $1{,}5R$ и $2{,}5R$ А какой — $2R$ Запиши график и ответы; ниже проверяется $Q_1$ в джоулях.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеЦикл по теплоёмкости

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Цикл по теплоёмкости

Как график теплоёмкости превращается в P–V-диаграмму — и где в цикле подводится теплота?

Если модель не открылась, попробуй так. Выпиши C_V и C_P одноатомного газа, узнай два участка; для третьего запиши первый закон на малом шаге.

Подсказка 1

$C = \dfrac{3}{2}R$ — изохора, $C = \dfrac{5}{2}R$ — изобара. Для $C = 2R$ запиши первый закон термодинамики на малом шаге: $C\,dT = \dfrac{3}{2}R\,dT + P\,dV$ , значит $P\,dV = \dfrac{1}{2}R\,dT$ — сравни с $d(PV) = R\,dT$ для одного моля. Какая связь $P$ и $V$ получается?

Подсказка 2

Из $P\,dV = \dfrac12 d(PV)$ следует $P\,dV = V\,dP$ то есть $P/V = \mathrm{const}$ процесс 1–2 — прямая через начало координат. Температура растёт в 9 раз, $PV \propto V^2$ значит $V$ и $P$ растут в 3 раза. Теплота на участке 1–2: $Q_1 = \nu\cdot 2R\cdot(9T_0 - T_0)$ ; остальные участки — сжатие (изобара) и изохора. Работа за цикл — площадь треугольника.

Разобрать решение по шагам

Узнаём процессы по теплоёмкости

Для одноатомного газа $C_V = \dfrac32 R$ $C_P = \dfrac52 R$ Участок 2–3 ( $C = 1{,}5R$ ) — изохора, 3–1 ( $C = 2{,}5R$ ) — изобара. На участке 1–2 $C = 2R$ по первому закону на малом шаге

2R\,dT = \frac32 R\,dT + P\,dV \ \Rightarrow\ P\,dV = \frac12 R\,dT = \frac12\,d(PV) = \frac12\,(P\,dV + V\,dP),

откуда $P\,dV = V\,dP$ и $P \propto V$ — прямая через начало координат (политропа с $n = -1$ ).

График в (P/P₀, V/V₀)

На 1–2 температура растёт от $T_0$ до $9T_0$ а $T \propto PV \propto V^2$ поэтому $V_2 = 3V_0$ и $P_2 = 3P_0$ точка 2 — $(3;\,3)$ Изохора 2–3 при $V = 3V_0$ до $T_3 = 3T_0$ $P_3 = P_0$ точка 3 — $(3;\,1)$ Изобара 3–1 при $P = P_0$ возвращает в $(1;\,1)$ Цикл — прямоугольный треугольник с вершинами $(1;1)$ $(3;3)$ $(3;1)$ обход по часовой стрелке (газ совершает положительную работу).

Теплота при расширении

Расширение происходит только на участке 1–2 (на изохоре объём постоянен, на изобаре газ сжимается). Теплота подводится на всём этом участке ( $C > 0$ $T$ растёт):

Q_1 = \nu C\,\Delta T = \nu\cdot 2R\cdot 8T_0 = 16\nu R T_0 = 16\cdot 2\cdot 8{,}31\cdot 300 \approx 79{,}8 \text{ кДж}.

Работа за цикл и высота

Работа газа за цикл — площадь треугольника: катеты $2V_0$ и $2P_0$

A_1 = \frac12\cdot 2V_0\cdot 2P_0 = 2P_0V_0 = 2\nu R T_0 \approx 9{,}97 \text{ кДж}.

Половина работы каждого цикла идёт на подъём: $\dfrac12 N A_1 = MgH$ откуда

H = \frac{N\nu R T_0}{Mg} = \frac{10\cdot 2\cdot 8{,}31\cdot 300}{150\cdot 10} \approx 33 \text{ м}.

Проверка

Правила модели задают цикл параметром и проверяют: на 1–2 выполняется $P/P_0 = V/V_0$ на 2–3 $V = 3V_0$ на 3–1 $P = P_0$ и везде $PV/(P_0V_0) = T/T_0$ первый закон $Q = A + \Delta U$ выполняется на каждом частичном отрезке; интеграл $\int C\,dT$ по участку 1–2 численно равен $16\nu R T_0$ за цикл $Q = A = 2\nu R T_0$ Для 10-01: $Q_1 \approx 79{,}8$ кДж, $A_1 \approx 9{,}97$ кДж, $H \approx 33{,}2$ м; для 10-02 ( $\nu = 3$ $T_0 = 270$ К, $M = 250$ кг, $N = 15$ ): $A_1 \approx 13{,}46$ кДж, $H \approx 40{,}4$ м.

Ответ

1) Треугольник $(1;1) \to (3;3) \to (3;1) \to (1;1)$ : участок 1–2 — прямая через начало координат, 2–3 — изохора, 3–1 — изобара; 2) $Q_1 = 16\nu R T_0 \approx 79{,}8$ кДж; 3) $H = \dfrac{N\nu R T_0}{Mg} \approx 33$ м.

Ответ

Главная идея

C = 2R у одноатомного газа означает P ∝ V (P dV = V dP); 1,5R и 2,5R — изохора и изобара; Q₁ = ν·2R·8T₀, работа за цикл — площадь треугольника 2P₀V₀.

График теплоёмкости от температуры — это шифр процессов: по значениям C узнаются изохора и изобара, а «нестандартное» C даёт политропу через первый закон.

Где легко ошибиться

Считать Q₁ по всем участкам с подводом тепла (здесь спрашивают только расширение); брать C = 2R как изобару; забыть, что половина работы теряется.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 10 класс · 2024/25 · заключительный этап, вариант 10-01, задача 4. В модели можно выбрать другой официальный вариант этого номера (вариант 10-02 (во втором пункте — работа за цикл)): условие, модель и проверка ответа следуют выбранному варианту.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 2) ↗ · Официальные решения (PDF организатора, стр. 2) ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с решениями организатора. Ответ сверен с официальным решением организатора и совпадает с ним; объяснение и модель написаны заново.

Продолжить тему: Теплообмен и фазовые переходы →

Тема, знания и приёмы

Теплообмен и фазовые переходы · Продвинутая подготовка

Первый закон термодинамики
Теплоёмкости C_V и C_P одноатомного газа
Работа как площадь под графиком P(V)

Приёмы решения: Чтение графика и сопоставление состояний · Закон сохранения энергии

Задать вопрос по задаче →