Задача 5. Корни двух уравнений как члены одной прогрессии

Равенство сумм

Пусть $x_n$ — члены прогрессии с разностью $d \neq 0$. Тогда $x_5 + x_6 = 2x_1 + 9d = x_3 + x_8$. По теореме Виета сумма корней первого уравнения равна $a^2 - a$, второго — $\dfrac{a^3 - a^2}{4}$. Значит,

Кандидаты: $a = 0$, $a = 1$, $a = 4$. Теперь каждое нужно проверить: равенство сумм необходимо, но не достаточно.

a = 0 и a = 1 не подходят

При $a = 0$: первое уравнение $x^2 - 5 = 0$, корни $\pm\sqrt5$, значит $|d| = |x_6 - x_5| = 2\sqrt5$; второе уравнение $4x^2 - 4 = 0$, корни $\pm 1$, а должно быть $|x_8 - x_3| = 5|d| = 10\sqrt5 \neq 2$.

При $a = 1$: $x^2 - 4 = 0$, корни $\pm 2$, $|d| = 4$; второе: $4x^2 - 1 = 0$, корни $\pm\dfrac12$, разность $1 \neq 5|d| = 20$.

a = 4 подходит

Первое уравнение: $x^2 - 12x - 1 = 0$, корни $6 \pm \sqrt{37}$, разность $2\sqrt{37} = |d|$. Второе: $4x^2 - 48x - 3556 = 0$, то есть $x^2 - 12x - 889 = 0$, корни $6 \pm 5\sqrt{37}$, разность $10\sqrt{37} = 5|d|$. Середины обеих пар совпадают ($6$), так что при $x_5 = 6 - \sqrt{37}$, $d = 2\sqrt{37}$ получаем $x_6 = 6 + \sqrt{37}$, $x_3 = 6 - 5\sqrt{37}$, $x_8 = 6 + 5\sqrt{37}$ — всё сходится.

Ответ

$a = 4$.