Физтех 2024/25 · Математика · 10 кл., №4 — решение · финал

Условие

В телеигре ведущий берёт несколько коробок и ровно в три из них кладёт по одному шарику. Игрок может указать на пять коробок и открыть их. Если в этих коробках лежат все три шарика, то игрок выигрывает. Игроку разрешили открыть шесть коробок. Во сколько раз увеличилась вероятность выигрыша игрока?

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Заключительный этап, вариант 5
Предмет / класс: Математика · 10 класс
Сезон: 2024/25

Число коробок не дано — подумай, почему ответ от него не зависит. Запиши свою догадку, потом проверь её в модели (для разных чисел коробок) и сравни с разбором.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеШарики в коробках

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Шарики в коробках

Как зависит вероятность выигрыша от числа коробок — и почему отношение вероятностей от него не зависит?

Если модель не открылась, попробуй так. Возьми 8 коробок: выпиши все 56 способов положить три шарика и посчитай, в скольких из них все шарики среди первых пяти коробок, а в скольких — среди первых шести.

Подсказка 1

Пусть коробок $N$ Удобно считать, что игрок уже выбрал свои коробки, а ведущий случайно размещает три шарика. Сколько всего способов выбрать три коробки для шариков и сколько из них выигрышные?

Подсказка 2

Всего размещений $C_N^3$ выигрышных — $C_5^3$ (все три шарика среди выбранных пяти) или $C_6^3$ (среди шести). Отношение вероятностей — $\dfrac{C_6^3}{C_5^3}$ и $C_N^3$ сокращается.

Разобрать решение по шагам

Чей выбор случаен

Пусть в игре $N$ коробок ( $N \geqslant 6$ ). Порядок действий не влияет на вероятность: можно считать, что игрок сначала назвал свои коробки, а затем ведущий наугад выбрал три коробки для шариков. Все $C_N^3$ способов выбора трёх коробок равновозможны.

Выигрышные исходы

Игрок с пятью коробками выигрывает, если все три шарика попали в его пять коробок: таких способов $C_5^3 = 10$ С шестью коробками выигрышных способов $C_6^3 = 20$

P_5 = \frac{C_5^3}{C_N^3} = \frac{10}{C_N^3}, \qquad P_6 = \frac{C_6^3}{C_N^3} = \frac{20}{C_N^3}.

Отношение

$\dfrac{P_6}{P_5} = \dfrac{20}{10} = 2$ — число коробок $N$ сократилось. Вероятность выигрыша увеличилась в $2$ раза.

Другой подсчёт (проверка)

Можно считать случайным выбор игрока: исходов $C_N^5$ выигрышных $C_{N-3}^2$ (три коробки с шариками обязательны, ещё две — любые из $N - 3$ ). Тогда $P_5 = \dfrac{C_{N-3}^2}{C_N^5} = \dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3}{N(N-1)(N-2)}$ , и так же $P_6 = \dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4}{N(N-1)(N-2)}$ ; отношение снова $2$

Проверка

Правила модели перебирают все размещения трёх шариков по $N$ коробкам для $N = 8, 9, 12, 20$ и $m = 5, 6, 7$ открытых коробок и сравнивают долю выигрышных с формулой $C_m^3 / C_N^3$ — совпадение точное; отношение $P_6/P_5$ равно $2$ при $N = 7, 10, 30$ Для варианта $6$ (семь коробок) отношение $C_7^3/C_5^3 = 35/10 = 3{,}5$ .

Ответ

В $2$ раза.

Ответ

В $2$ раза.

Главная идея

Считай случайным выбор ведущего: из C(N,3) размещений шариков выигрышные — C(5,3) = 10 или C(6,3) = 20, и общее число коробок сокращается: отношение 2.

Вероятность «все особые предметы попали в выбранное множество» — выбирай, чей выбор считать случайным, чтобы знаменатель сократился.

Где легко ошибиться

Пытаться найти N из условия; считать C(6,3)/C(5,3) неверно (например, 6/5); считать выигрышем «хотя бы один шарик».

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · математика · 10 класс · 2024/25 · заключительный этап, вариант 5, задача 4. В модели можно выбрать другой официальный вариант этого номера (вариант 6): условие, модель и проверка ответа следуют выбранному варианту.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Официальные решения (PDF организатора, стр. 2) ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с решениями организатора. Ответ сверен с официальным решением организатора и совпадает с ним; объяснение и модель написаны заново.

Продолжить тему: Вероятность →

Тема, знания и приёмы

Вероятность · Нужна школьная база

Классическое определение вероятности
Число сочетаний C(n, k)
Равновозможность исходов при перестановке порядка выбора

Приёмы решения: Последовательный подсчёт без повторов · Относительное движение

Задать вопрос по задаче →