Математика · 10 класс

Ненулевые числа $x$, $y$, $z$ удовлетворяют системе уравнений

Найдите все возможные значения выражения $(x+3)^2 + (y+3)^2 + (z+3)^2$, если известно, что система имеет хотя бы одно решение в ненулевых числах.

Десятичная запись натурального числа $n$ состоит из $40\,000$ девяток. Сколько девяток содержит десятичная запись числа $n^3$?

Окружность $\omega$ с диаметром $AB$ пересекает сторону $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ в точке $D$. Точка $F$ выбрана на отрезке $AC$ так, что $DF \perp AC$, а $E$ — точка пересечения отрезка $DF$ с окружностью $\omega$, отличная от $D$. Найдите $AF$, если $AC = 10$, $AB = 6$, $BE = 5$.

В телеигре ведущий берёт несколько коробок и ровно в три из них кладёт по одному шарику. Игрок может указать на пять коробок и открыть их. Если в этих коробках лежат все три шарика, то игрок выигрывает. Игроку разрешили открыть шесть коробок. Во сколько раз увеличилась вероятность выигрыша игрока?

Найдите все значения параметра $a$, при которых корни уравнения $x^2 - (a^2 - a)x + a - 5 = 0$ являются пятым и шестым членами некоторой непостоянной арифметической прогрессии, а корни уравнения $4x^2 - (a^3 - a^2)x + 2a^4 + 2a^2 - a^6 - 4 = 0$ являются третьим и восьмым членами этой прогрессии.

На координатной плоскости построена фигура $\Phi$, состоящая из всех точек, координаты которых удовлетворяют неравенству

Фигуру $\Phi$ непрерывно повернули вокруг начала координат на угол $\pi$ против часовой стрелки. Найдите площадь множества $M$, которое замела фигура $\Phi$ при этом повороте.

На гипотенузе $BC$ прямоугольного треугольника $ABC$ выбраны точки $P$ и $Q$ так, что $AB = BP$, $AC = CQ$. Внутри треугольника $ABC$ выбрана точка $D$, для которой $DP = DQ$, а $\angle PDQ = 90^\circ$. Найдите $\angle DBC$, если известно, что $\angle DCB = 20^\circ$.