Физтех 2024/25 · Математика · 10 кл., №2 — решение · финал

Условие

Десятичная запись натурального числа $n$ состоит из $40\,000$ девяток. Сколько девяток содержит десятичная запись числа $n^3$

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Заключительный этап, вариант 5
Предмет / класс: Математика · 10 класс
Сезон: 2024/25

Посмотри на маленькие случаи: $99^3$ $999^3$ Какая закономерность в записи куба? Запиши свой ответ, потом проверь его в модели и сравни с разбором.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеКуб из девяток

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Куб из девяток

Как устроена запись куба числа из k девяток — и сколько в ней девяток при k = 40 000?

Если модель не открылась, попробуй так. Посчитай 9³, 99³, 999³ и 9999³ столбиком или на калькуляторе и выпиши, сколько девяток в каждом результате. Найди формулу через k.

Подсказка 1

Число из $k$ девяток — это $10^k - 1$ Раскрой куб разности $(10^k - 1)^3$ по формуле.

Подсказка 2

$(10^k - 1)^3 = 10^{3k} - 3 \cdot 10^{2k} + 3 \cdot 10^k - 1$ . Выполни вычитания столбиком, начиная с младших разрядов: запись распадается на участки из девяток, семёрку, нули и двойку. Посчитай девятки в каждом участке при $k = 40\,000$

Разобрать решение по шагам

Число как степень десяти

$n = \underbrace{99\ldots9}_{40\,000} = 10^{40\,000} - 1$ . Обозначим $k = 40\,000$

Куб разности

n^3 = (10^k - 1)^3 = 10^{3k} - 3 \cdot 10^{2k} + 3 \cdot 10^k - 1.

Собираем запись по разрядам

Считаем от младших разрядов. $3 \cdot 10^k - 1 = 2\underbrace{99\ldots9}_{k}$ — это младшие $k + 1$ разрядов. Далее

10^{3k} - 3 \cdot 10^{2k} = 10^{2k}(10^k - 3) = \underbrace{99\ldots9}_{k-1}7\underbrace{00\ldots0}_{2k}

. Складывая, получаем

n^3 = \underbrace{99\ldots9}_{k-1}\,7\,\underbrace{00\ldots0}_{k-1}\,2\,\underbrace{99\ldots9}_{k}.

Проверка на $k = 3$ $999^3 = 997\,002\,999$ — два участка девяток: $2$ и $3$ штуки.

Считаем девятки

Девятки стоят в двух участках: $k - 1$ в старшем и $k$ в младшем, всего $2k - 1 = 79\,999$

Проверка

Правила модели вычисляют $(10^k - 1)^3$ точно для $k = 1, \dots, 12$ и сравнивают запись с шаблоном « $k - 1$ девяток, $7$ $k - 1$ нулей, $2$ $k$ девяток»: совпадение при всех $k \geqslant 2$ число девяток равно $2k - 1$ Для $k = 40\,000$ ответ по той же формуле — $79\,999$ для варианта $6$ ( $k = 30\,001$ ) — $60\,001$

Ответ

$79\,999$

Ответ

$79\,999$

Главная идея

n = 10^k − 1, куб раскрывается как 10^{3k} − 3·10^{2k} + 3·10^k − 1, и запись распадается на два участка девяток длиной k − 1 и k, семёрку, нули и двойку.

Числа из одинаковых цифр записывай как 10^k − 1 (или (10^k − 1)/9) и раскрывай степень; проверяй шаблон на маленьких k.

Где легко ошибиться

Посчитать 3k − 1 или 2k девяток, не увидев, что старший участок короче на одну девятку из-за семёрки; не проверить на 99³ = 970 299.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · математика · 10 класс · 2024/25 · заключительный этап, вариант 5, задача 2. В модели можно выбрать другой официальный вариант этого номера (вариант 6): условие, модель и проверка ответа следуют выбранному варианту.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Официальные решения (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с решениями организатора. Ответ сверен с официальным решением организатора и совпадает с ним; объяснение и модель написаны заново.

Продолжить тему: Десятичная запись →

Тема, знания и приёмы

Десятичная запись · Нужна школьная база

Формула куба разности
Запись чисел вида 10^k − 1
Вычитание столбиком со степенями десяти

Приёмы решения: Разрядная запись числа · Удачная подстановка или замена

Задать вопрос по задаче →