Математика · 10 класс · Физтех 2024/25 · заключительный этап

Задача 3. Три подобных прямоугольных треугольника у высоты

Условие

Окружность ω\omega с диаметром ABAB пересекает сторону BCBC остроугольного треугольника ABCABC в точке DD. Точка FF выбрана на отрезке ACAC так, что DF⊥ACDF \perp AC, а EE — точка пересечения отрезка DFDF с окружностью ω\omega, отличная от DD. Найдите AFAF, если AC=10AC = 10, AB=6AB = 6, BE=5BE = 5.

О задаче · 10 класс
Олимпиада
Физтех (МФТИ)
Этап
Заключительный этап, вариант 5
Предмет / класс
Математика · 10 класс
Сезон
2024/25

Начерти рисунок: раз ABAB — диаметр, какие углы прямые? Найди на рисунке три прямоугольных треугольника с общей вершиной AA. Запиши свой ответ, потом проверь его в модели и сравни с разбором.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеТри угла α

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Три угла α

Какие углы на рисунке равны — и как через них выразить AF?

Если модель не открылась, попробуй так. Начерти отрезок AB = 6 см, окружность с диаметром AB, точку C с AC = 10 см так, чтобы треугольник был остроугольным; отметь D на BC, опусти перпендикуляр DF на AC и найди E. Измерь углы ABE, ADF, ACD и отрезок AF.

Подсказка 1

∠ADB=90∘\angle ADB = 90^\circ и ∠AEB=90∘\angle AEB = 90^\circ (опираются на диаметр). Сравни вписанные углы ABEABE и ADEADE, а угол ADFADF — с углом ACDACD.

Подсказка 2

∠ABE=∠ADE\angle ABE = \angle ADE (опираются на дугу AEAE), а ∠ADF=90∘−∠DAF=∠ACD\angle ADF = 90^\circ - \angle DAF = \angle ACD. Значит, прямоугольные треугольники ABEABE, ADFADF и ACDACD имеют общий острый угол α\alpha и подобны. Из △ABE\triangle ABE: cos⁡α=BEAB\cos\alpha = \dfrac{BE}{AB}. Выражай через cos⁡α\cos\alpha сначала CDCD, потом CFCF.

Разобрать решение по шагам
1

Прямые углы на диаметре

Точки DD и EE лежат на окружности с диаметром ABAB, поэтому ∠ADB=∠AEB=90∘\angle ADB = \angle AEB = 90^\circ. В частности, ADAD — высота треугольника ABCABC, а треугольник ABEABE прямоугольный с гипотенузой ABAB.

2

Один и тот же острый угол

Вписанные углы ABEABE и ADEADE опираются на одну дугу AEAE, значит, ∠ABE=∠ADE=∠ADF\angle ABE = \angle ADE = \angle ADF (точка EE лежит на отрезке DFDF). С другой стороны, в прямоугольном треугольнике ADFADF угол ADF=90∘−∠DAFADF = 90^\circ - \angle DAF, а в прямоугольном треугольнике ADCADC угол ACD=90∘−∠DACACD = 90^\circ - \angle DAC, и ∠DAF=∠DAC\angle DAF = \angle DAC — это один угол. Итак,

∠ABE=∠ADF=∠ACD=α.\angle ABE = \angle ADF = \angle ACD = \alpha.
ABCDEFααα
Окружность с диаметром AB, высота AD, перпендикуляр DF и точка E; углы ABE, ADF и ACD равны.
3

Три подобных треугольника

Треугольники ABEABE, ADFADF, ACDACD прямоугольные с острым углом α\alpha при вершинах BB, DD, CC соответственно, поэтому они подобны. Из треугольника ABEABE:

cos⁡α=BEAB=56.\cos\alpha = \frac{BE}{AB} = \frac{5}{6}.
4

Спускаемся по катетам

В треугольнике ACDACD катет CD=ACcos⁡αCD = AC\cos\alpha. В треугольнике CDFCDF (тоже прямоугольный, угол CC равен α\alpha) катет CF=CDcos⁡α=ACcos⁡2α=10⋅2536=12518CF = CD\cos\alpha = AC\cos^2\alpha = 10 \cdot \dfrac{25}{36} = \dfrac{125}{18}.

5

Ответ

AF=AC−CF=10−12518=5518AF = AC - CF = 10 - \dfrac{125}{18} = \dfrac{55}{18}. То же самое короче: AF=ACsin⁡2α=10⋅1136AF = AC\sin^2\alpha = 10 \cdot \dfrac{11}{36}.

Проверка

Правила модели строят треугольник в координатах по данным ACAC, ABAB и cos⁡α=BE/AB\cos\alpha = BE/AB (угол BB — по теореме синусов, остроугольная конфигурация), находят DD как основание высоты, FF — как проекцию DD, EE — как вторую точку прямой DFDF на окружности, и измеряют: BE=5BE = 5 воспроизводится, EE лежит на ω\omega, AD⊥BCAD \perp BC, а AF=5518AF = \dfrac{55}{18} с точностью 10−910^{-9}; то же для варианта 66 (AF=358AF = \dfrac{35}{8}) и двух наборов собственных данных.

Ответ

AF=5518AF = \dfrac{55}{18}.

Ответ

AF=5518AF = \dfrac{55}{18}.

Главная идея

Диаметр AB даёт прямые углы при D и E; вписанные углы и высота дают один острый угол α в треугольниках ABE, ADF, ACD, так что cos α = BE/AB, а AF = AC − AC·cos²α.

Окружность на стороне как на диаметре — ищи прямые углы и равные вписанные углы; цепочка подобных прямоугольных треугольников с общим углом.

Где легко ошибиться

Не заметить, что D — основание высоты (∠ADB = 90°); перепутать, на какую дугу опираются углы ABE и ADE; найти CF и забыть вычесть из AC.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · математика · 10 класс · 2024/25 · заключительный этап, вариант 5, задача 3. В модели можно выбрать другой официальный вариант этого номера (вариант 6): условие, модель и проверка ответа следуют выбранному варианту.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Официальные решения (PDF организатора, стр. 1–2) ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с решениями организатора. Ответ сверен с официальным решением организатора и совпадает с ним; объяснение и модель написаны заново.

Продолжить тему: Окружности и касательные →
Тема, знания и приёмы

Окружности и касательные · Начальный вход

  • Вписанный угол, опирающийся на диаметр
  • Вписанные углы на одной дуге
  • Подобие прямоугольных треугольников, косинус острого угла

Приёмы решения: Подобие треугольников · Дополнительное построение

Задать вопрос по задаче →
Увеличенный рисунок